2019_2020学年高中数学第4章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系学案新人教A版必修2q

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1、4.2.1　直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0思

2、考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？[提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相交B．相切C．相离D．无法判断B　[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.]2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则

3、AB

4、＝(　　)A．1B．C．D．2D　[直线y＝x过圆x2＋y2＝1

5、的圆心C(0，0)，则

6、AB

7、＝2.]3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．4　[由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.]直线与圆的位置关系【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，(1)∴当Δ>0时，即m>0或m

8、<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－

9、法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能A　[将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3，0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．]求圆的切线方程【例2】　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，

10、求此切线方程．思路探究：→[解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.设圆心为C，因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，即

11、k＋4

12、＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.所以切线方程为－x－y＋－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.1．本例中若将点“A(4，－3)

13、”改为“A(2，1)”，则结果如何？[解]　因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3,1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y＝1.2．若本例的条件不变，求其切线长．[解]　因为圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，

14、AC

15、＝＝，又

16、BC

17、＝r＝1，则

18、AB

19、＝＝＝4，所以切线长为4.圆的切线的求法：(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的