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《考点三空间向量与立体几何（教案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、考点三空间向量与立体几何解题必备运筹帷幄决胜千里1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线/的方向向量为a=(Q
2、,5，cj,平面么，”的法向量分别为“=(血，b2,C2),Q=(Q3，伤，C3),贝(1)线面平行///6(。4丄“0仇・“=OOQ16?2+：02+C[C2=0；(2)线面垂直/丄aou〃Roa=kfiocij=ka?，bi=kb^,C=kc^;(3)面面平行a〃=2qOQ2=2如，伤=久仇，(?2=AC3；(4)面而垂直a丄丄=()0(72。3+仇他+C2C3=0.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线/,加的方向向量分别
3、为a=(a]9bi，Cl),b=(ci2,吩,平面a,”的法向量分别为“=(如，加，C3),。=(。4，馆，C4)(以下相同).(1)线线夹角设/，加的夹角为彳贝
4、JkiQ2+biZ^+ciC2
5、C°Sl^ll^l巳加+旺+盲寸屍+怎+云'(2)线面夹角设直线/与平面a的夹角为血冬空)则sin"=鹅=
6、cos〈a,“〉(3)面面夹角设平面a,〃的夹角为&(0£0＜兀)，则
7、cos3=解题方略小题速解大题规范类型一利用向量证明平行与垂直AMB[典例1](2017-111东聊城模拟)如图，在直三棱柱ADE-BCF中，面ABFE和面/BCD都是正方形且互相垂直，M为的中点，
8、O为DF的中点.运用向量方法证明：(1)OM〃平面BCF；(2)平面丄平面EFCD.证明：由题意，得4B,AD,/E两两垂直,以力为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系・设正方形边长为1,则力(0,0,0)』(1,0,0),C(1,1,0),1)(0丄0),F(1,0,1),址,0,0⑴皿=(0,—5^=(—1,0,0),所以oUba=o,所以加丄励.因为棱柱ADE-BCF是直三棱柱，所以&8丄平面JBCF,所以越是平面3CF的一个法向量，且OMQ平面BCF,所以OM〃平面3CF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为nx=(xx,yl9z】)，n2=(x2
9、,y2,Z2)・因为护=(1,—1,1),励=乜，一1,ol,况=(1，O,O),彷=(O,-1,1),Xi—尹i+zi=0,由小•济=n「^4=Q,得v12%i~Xi=0，f1门=尹1,解得][Z=—.(1令Xi=l,则7/1=11,》1)2j-同理可得血=(0丄1)・因为nrn2=0,所以平面MZ)F丄平面EFCD［母题变式］在本例1中，条件不变，判断直线OM与平面EFCQ是否垂直？说明理由.解析：OM丄平面EFCD,理由如下：由例1知0初=［0,一寸平面EFCZ)的一个法向量〃2=(0,1,1),9：OU//n2,：・OM丄平面EFCDI规律方法I用向量知识证明
10、立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理•如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条亡线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a//h,只需证明向量“="(2GR)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.［自我挑战］如图，在三棱柱MCY/iC］中，M丄平面MC,BCA.AC,BC=AC=2,AAX=3,Z)为/C的中点.(1)求证：ABJ/平面BDC；(2)在侧棱AAi±是否存在点戶，使得CP丄平面BDCU并证明你的结论.解：⑴证明：连接5C,与〃G相交于点0,连接OD,•・•四边形BCCyBy是矩形，・
11、・・0是5C的中点.又D是力C的中点,：・OD//AB.平面BDC,0DU平面BDC、,:.AB{//平面BDCi・⑵如图，建立空间直角坐标系，则C](0,0,0),3(0,3,2),C(0,3,0),/(2,3,0),D(l，3,0),假设在侧棱44］上存在一点P(2,yO)(OWyW3),使得CF丄平面BDC・・・.C=(2,尹―3,0)则go,I彷6=0,严-3)=0,[2+3(y—3)=0,・•・方程组无解.・・・假设不成立.・•・在侧棱//1上不存在点尸，使得CF丄平面BDC、.类型二利用空间向量求空间角［典例2］(2015-高考全国卷I)(本题满分12
12、分)如图，四边形ABCD为菱形，Z/3C=120。，E,F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面/BCD,DF丄平面人BCD,BE=2DF,4E丄EC.(2)求直线/E与直线CF所成角的余弦值.规范解答：(1)证明：连接设BDDAC=G9连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中，不妨设GB=L由Z/EC=120。，可得AG=GC=y[3,AB=BC=2.由BE丄平面ABCD,AB=BC,可得AE=EC・又/E丄EC,所以EG=4G=书,且EG丄/C.5在R1AE5G中，可得二^=^3二1=边，故DF=*.在RtAFDG中,可得FG=y]DF
