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1、双曲线一、选择题(12)1.已知片，巧是双曲线若一苔=l(a>0,b>0)的左，右焦点，过§的直线/与双曲线的左右两支分别交于点A,B,若'ABF?为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.V7B.43D.V3•A•解：因为ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m,A为双曲线上一点，FrA-F2A=FrA-AB=FrB=2a,B为双曲线上一点，贝\BF2-BF1=2a,BF2=4a,=2c,由厶4BF2=60°,贝UF1BF2=120°,在厶F1BF2^应用余弦定理得：4c2=4/+16a2一2•2q•4q•cosl20°,得c?=7a2,则訂=7=>e=V7
2、-故选：A.由双曲线的定义，可得FtA-F2A=FXA-AB=F)B=2a,BF2-BF1=2a,BF?=4a,F、F2=2c,再在F、BF2屮应用余弦定理得，a,c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求.本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于屮档题.2.设P是双曲线石一斗二l(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为-2y=0,F-巧分別是双曲线的左、右焦点，若
3、PFJ=5,则
4、PF2
5、=()A.1或9B.6C.9D.以上都不对•C•解：由双曲线的方程、渐近线的方程可雋W・・・a=2•由双曲线的定义可得
6、
7、PF2
8、-5
9、=4,•・・
10、P
11、FJ=5,・・・P在双曲线的左支上,・•・PF2=9,故选：C.由双曲线的方程、渐近线的方程求出a,由双曲线的定义求出
12、PF2
13、.本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方稈，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键.3.已知双曲线mx2-y2=1的渐近线方程为y=±3x,则m=()A.
14、B・£C.3D.9D•解：由双曲线的方程知m>0,由mx2—y2=0得y=±y/mx^•・•双曲线的渐进线方程为y=±3x,•••y/m=3,得m=9,故选：D根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线方程，建立方程关系进行求解即可.本题主要考查双曲线渐近线的求解，
15、根据条件建立方程关系是解决本题的关键.比较基础.4.一动圆P过定点M(—4,0),且与已知圆N：(x-4)25.过双曲线缶一話=l(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=Q的切线，切点为E,延长FE交双曲线于点P,O为坐标原点，若OE=l(OF+OP^则双曲线的离心率为()A.仝B.逻C.V5D.仝222•C.解:VOF=c,OE=arOE1EF,・•・[EF[=b,•・•乔=
16、(乔+丽)，则)，.•・
17、PF
18、=2b,
19、P"I=勿，・.・
20、PF
21、-
22、PF
23、=2d,.・.b=2a,e=Jl+(》2=苗’故选:C由题设知
24、EF
25、=b,
26、PF
27、=2b,
28、PF
29、=2a,
30、再由
31、PF
32、_
33、P門=2“，知b=2a,由此能求出双曲线的离心率.+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是()A.--^=1(%>2)B.--^=l(x<2)412k本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义,考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题.412v7•c•解：动圆圆心为P,半径为厂,已知圆圆心为N,半径为4由题意知：PM=r,PN=r4-4,所以PN-PM=4,即动点P到两定点的距离之差为常数4,P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4,2c=8,•••b=2>/3,・••动圆圆心M的轨迹方程为：兰一疋
34、=1.412故选：C.动圆圆心为P,半径为儿已知圆圆心为N,半径为4由题意知：PM=r,PN=r+4,所以
35、PN-PM
36、=4,即动点P到两定点的距离之差为常数4,P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4,2c=8,从而可得动圆圆心P的轨迹方程.本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题.6.已知F],F2是双曲线若一着=l(a>0,b>0)的左右焦点，若双曲线右支上存在一点(手,一乎)与点耳关于直线y=-乎对称，则该双曲线的离心率为()A.V5B.—C.2D.V22•A•解：由题意过耳2,0)且垂直于y=-牛的直线方程为y=-c),它与y=一
37、牛的交点坐标为(£,一弓)，所以点P的坐标为(¥—c,-乎)，因为点P在双曲线上，(晳®(晋尸=1,a2b2~•・・a2+b2=c2,可得c?=5*,.・.冷=5,a2/.e=-=V5,a故选：A.求出过Fdc,o)且垂直于y=-^的直线方程，求出它与y=-^的交点坐标，求出点p的坐标，代入双曲线方程化简求解即可.本题考查双曲线的性质的应用.是基础题.7.如图，正方体ABCD-A^'CD'中，M为BC边的中点，点P在底^A'B'C'D'和侧面CDD宅上运动并且使^MAC'=^PAC那么点P的轨迹是()A.两段圆弧
