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1、第三讲空间向量与立体几何［考情分析］高考川此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系和垂直关系的证明，空间儿何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的求解，简单的空间距离的求解，难度屮等偏上.其屮解答题的基本模式是既有证明也有计算，其中的计算离不开证明，以考查证明为主.年份卷别考查角度及命题位置2017I卷面面垂直与二面角求法•T18II卷异面直线所成角求法•□()线面平行与二面角求法・T］9III卷线与线所成角问题.厂6而而垂直与二而角求法・T］92016I卷面面垂直的证明及二面角的求解・口8II卷线面垂直证明及二面角的求解・口9
2、III卷线面平行的证明及线面角的求解・T
3、92015I卷面面垂直的证明、异面直线所成角的求解II卷空间点线面的位置关系及线面角的求解・Tw［真题自检］1.(2015-高考全国卷I)如图，四边形ABCD为菱形，ZMC=12(r,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,/IE丄EC.(1)证明：平面AEC丄平面4FC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.ZE在菱形ABCD中，不妨设GB=.由Z/BC=120。，可得/G=GC=J1由3E丄平面ABCD,4B=BC,可知AE=EC.头AE丄EC,所以EG=£
4、,ILEG±AC.在Rt/XEBG中，可得BE-迄,故DF-平.在Rt△FDG中,可得FG—誓.在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=&,DF=£,可得EF=羊.从而EG1+FG1=EF1,所以EG丄FG.又/CQFG=G,所以EG丄平面AFC.因为EGU平面AEC,所以平面/EC丄平面AFC.,C（0,甫，0）,所以庞=（1,羽,（2）如图，以G为坐标原点，分别以场，疋的方向为x轴，尹轴正方向，
5、场
6、为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz,由（1）可得力（0,—迈，0）,E（l,0,迈），彳一1、/^）,CF=（—1,—、/5,誓）.故cos〈AE,&
7、>=屋互AE\CF]所以直线力E与直线CF所成角的余弦值为平.2.（2017-高考全国卷II）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=^D,ZB4D=Z4BC=90。,E是"的中点.（1）证明：直线CE〃平面⑵点M在棱PC上，且直线与底面ABCD所成角为45。，求二面角M-AB-D的余弦值.解析：⑴证明：取丹的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点、,所以EF//AD,EF=*/D.由ZBAD=Z/BC=90°得BC//4D,又BC=^ADt所以EF狹BC,四边形BCEF是平行四边形，CE//BF,又u平面R
8、4B,CEQ平面B4B,故CE〃平面丹⑵由已知得以丄/D,以/为坐标原点，乔的方向为x轴正方向，
9、乔
10、为单位长度，建立如图所示的空间所以返12，'‘直角坐标系A—xyz,贝U力(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),P(0,l,回，花=(1,0,—苗，乔=(1,0,0).设M(x,y,z)(011、cos〈竝，n>
12、=sin45°,团卫设m=（x（）,y（）9zo）是平面ABM的法向量,则I_[m
13、-AB=09即严严加+2必+伍＞=0,Ixq—0,所以可取“2=(0,—V6,2).于是cos〈m因此二面角M-AB-D的余弦值为芈3.（2016-高考全国I卷）如图，在以儿B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，4F=2FD,ZJFD=90°,且二面角D・AF・E与二面角C・BE・F都是60°.（1）证明：平面ABEF丄平面EFDC；（2）求二面角E-BC-A的余眩值.解析：（1）证明：由已知可得力F丄DF,AF丄FE,所以/F丄平面EFDC.又/FU平面ABEF,故平面ABEF丄平面EFDC.(2)过Z)作DG丄EF,垂足为G.由(1)
14、知DG丄平面ABEF.以G为坐标原点，寿的方向为x轴正方向，
15、丽为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由(1)知ZDFE为二面角D-AF-E的平面角，故ZDFE=60。,则QF
16、=2,QG
17、=羽,可得1,4,0),B(—3,4,0),e(—3,0,0),mo,V3).由已知得AB//EF,所以力3〃平面EFDC.又平面ABCDQ平面EFDC=CD,^AB//CD,CD//EF.由BE//AF,可得BE丄平而EFDC,所以乙CEF为二面角C-BE-F的平面角，ZCEF=6L.从而可得C(一2,0,萌)・所以EC=(1,O,羽)，丽=(0,4,0),AC=(-
18、3f-4,需)，乔=(一4,0,0).设n=(xfy,z)是平面B
