《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计9

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1、第九课时回顾与思考学习目标知识与能力目标能通过回顾与思考，建立起本章的知识框架图；能利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；体会到直角三角形边角关系这一数学模型在现实生活中的广泛的应用价值．过程与方法目标学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题，进一步感悟三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．情感与价值观要求在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益；认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点、难点建立本章的知识结构框架图；应用三角函数解决现实生

2、活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教具准备多媒体演示、计算器教学过程回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题1]举例说明，三角函数在现实生活中的应用．例1：甲、乙两楼相距30m，甲楼高40m，自甲楼楼顶看乙

3、楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1m)解：根据题意可知：乙楼的高度为30tn30°=40+30×=40+10=57(m)，即乙楼的高度约为57m．例2，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151m，即河宽为151m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广

4、泛，下面我们来看一个例子．典例1：如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A到MN的最短距离大于400m还是等于400m，于是过A作AD⊥MN．垂足为D．∵BE//MC．∴∠EBD＝∠CMB＝30

5、°．∴∠ABN=45°．∠AMD＝∠CMA-∠CMB＝60°-30°=30°．在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴tan45°＝，BD＝＝AD，在Rt△AMD中．∠AMD=30°，tan30°=，MD＝=AD，∵MD=MD-BD，即AD-AD＝400，AD-200(+1)m>400m．所以输水路线不会穿过居民区．[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sinα、cosα、tanα的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663．而≈0．

6、4663．我们可以发现＝tanα．这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°∵sinA＝cosA＝tanA＝，=tanA,tanA=.这就是说，对于任意锐角A，∠A的正弦与余弦的商等于∠A的正切．下面请同学们继续用计算器探索sinα，cosα之间的关系．sin225°≈0．1787,cos225°≈0．8213，可以发现：sin225°+cos225°≈0．1787+0．8213＝1．我们可以猜想任意锐角都有关系：sin2α+cos2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sin

7、A=，cosA=sin2A+cos2A＝，根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，∴sin2A+cos2A＝1，这就是说,对于任意锐角A，∠A的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA、sinA、cosA之间的关系．已知cosA=，求sinA．tanA．[生]解：根据sin2A+cos2A＝1．得sinA＝tanA=.[生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA＝设∠A的邻边＝3k．斜边＝5k．则∠A的对边＝∴sinA=tanA=[问题3]：你能应用三角函数解决哪些问题?锐角三角函数反映了直角三角形的

8、边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都