《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计8

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1、解直角三角形之正切与余切一.本周教学内容：解直角三角形正切与余切 1.直角三角形中各元素间的关系（1）边与边之间的关系：a.任意两边之和都大于第三边及任意两边之差都小于第三边。b.由勾股定理得a2＋b2＝c2（2）角与角之间的关系：a.三个内角之和等于180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°。b.RtΔABC中，两个锐角互余，即∠A＋∠B＝90°。（3）角与边之间的关系：（tgA也记作tanA，ctgA也记作cotA）（4）直角三角形的面积公式：2.解直角三角形的定义及其分类由直角三角形中的已知元

2、素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形基本上可分为两大类问题：一类是已知一条边和一个锐角，另一类是已知两条边。3.有关解直角三角形的应用题。 二.重点和难点：重点是解直角三角形，难点是解直角三角形的应用题。 ［正切和余切的知识要点］1.用类比的方法引入锐角的正切、余切概念，及互余两角的正切、余切间的关系；同一个角的正切与余切间的关系。2.掌握正切值、余切值随锐角角度变化的变化规律。3.掌握0°，30°，45°，60°，90°角的正切值和余切值，并进行有关的计算。4.会查表求一个锐

3、角的正切、余切值；同时，已知一锐角的正切或余切值，会利用三角函数表，求出锐角。5.会利用学过的四个三角函数定义进行有关的计算和证明，会用有关锐角三角函数的知识解决一些求直角三角形中某个未知元素的简单问题。 【例题分析】例1.对比锐角的正弦与余弦的学习，谈一下你对正切、余切学习的认识。解：(1)同正弦与余弦的定义一样，正切与余切也是在直角三角形中定义的。∠C＝90°时，它们与角度也有一一对应的关系。(2)它们也具有类似于正弦、余弦值的变化规律，随着锐角α的增大，tanα的值也增大，而cotα的值反

4、而减小，不同的是tanα是从0增大到不存在，它可以取到无穷大；而cotα则从不存在减少到0；因此在查表时要特别注意cotα的修正值的运用。(3)从定义不难看出tanα与cotα互为倒数：<1>tanαcotα＝1<2>而当α＋β＝90°时也有：tanα＝cotβ，cosα＝sinβ；思考与探索：学了这四个三角函数后，我们知道当一个锐角确定后，它所在的直角三角形中任两条边的比值就确定了。我们规定了那么对于sinA、cosA我们是否也可以对它们的倒数进行规定呢？事实上，它们也是两个三角函数，我们将在

5、今后的学习中见到它们。 分析：所给条件是，也就是知道了两条直角边的比值，凡已知比值的题，我们都可设一份为k，从而表达出各边的长度，从而完成解答。解法一：设一份为k，解法二：解法二不如解法一简单、直接，但它运用了互余两角的正、余切关系及同一角的三角函数间的关系，有助于我们对它们的理解和巩固。用多种方法解题，能开扩我们的思路。 分析：要求sinB的值，我们只要知道b与c间的关系，或∠B的度数。从已知可知，我们可根据定义转化已知条件为三角形的三边关系，再加上勾股定理，就可得出三边间关系，或者运用互余两

6、角间关系，及同角三角函数间关系也可以求出sinB。解法一：解法二： ［正切和余切知识小结］1.锐角的四个三角函数体现了三角形中边的比值与角的大小的一种对应关系，直角三角形中的边、角关系中，三者之中（角、两边）知二便可求。2.0°，30°，45°，60°，90°角的四个三角函数都要掌握好，在计算或化简中，要分清运算，分清大小，选择算法，准确求值。3.弄清三角函数的增减性问题，是查表、比较大小、确定角或函数值的取值范围的关键。4.本节所学为锐角的四个三角函数，故它们的值都为正数，解题时不要忘记限定的

7、条件是锐角。 ［解直角三角形知识要点］1.熟练掌握直角三角形中三边的关系、两个锐角间的关系及边与锐角间的关系。并能根据直角三角形中给出的一些元素正确地选用这些关系，准确、迅速地求出其他元素。2.理解什么叫解直角三角形，并熟练掌握直角三角形的解法，并能按照题中条件画出符合条件的图形，写出正确的解题过程。3.任意三角形的高能把斜三角形中的边角关系转化到n个直角三角形之中，因此，要求我们会解有特殊角的斜三角形中的有关计算题。4.通过学习理解并学会“转化的思想”，“方程的思想”，提高分析能力、计算能力。

8、 【例题分析】例1.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°。（1）如果已知∠A和c，写出解ΔABC求未知元素的过程；（2）如果已知a，b，写出解ΔABC求未知元素的过程；（3）如果已知b，∠A，写出解ΔABC求未知元素的过程；（4）如果已知a，∠B，写出解ΔABC求未知元素的过程。解：说明：（1）从题中可见直角三角形中除直角以外的五个元素中，只要知道两个（其中至少有一个是边），我们就可以解这个三角形。（2）在求某个元素时，可用方法不止一种时，最好用已知条件可直接求出的那种，这时算出的准确性高。像（