数学疑难问题汇编

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1、(2007・安徽)如图1,在四边形ABCD中，已矢口AB=BC=CD,ZBAD和ZCDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ〃BA交AD于点Q,PS〃BC交DC于点S,四边形PQRS是平行四边形.(1)当点P与点B重合时，图1变为图2,若ZABD二90。，求证：AABR^ACRD；(2)对于图若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？考点:全等三角形的判定；平行四边形的判定.专魏••证明题；开放型.分析:(1)可先证CR丄BD,根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得ZBCR二ZDCR,进而求得ZBAR=ZDCR,又有AB=C

2、R,AR=BC=CD,可证△ABR^ACRD；(2)rtlPS//QR,PS〃RD知l,点R在QD上，故BC〃AD・又rtlAB=CD知ZA二ZCDA因为SR〃PQ〃BA,所以ZSRD二ZA二ZCDA,从而SR二SD・由PS〃BC及BC二CD矢F1SP二SD.而SP二DR,所以SR二SD二RD故ZCDA=60度・因此四边形ABCD还应满足BC〃AD,ZCDA=60°B证明：(1)VZABD=90°,AB〃CR,•・・CR丄BD・VBC=CD,AZBCR=ZDCR・•・•四边形ABCR是平行四边形，AZBCR=ZBAR・AZBAR=ZDCR・又TAB二CR,AR=B

3、C=CD,AAABR^ACRD・(2)由PS〃QR,PS〃RD知I,点R在QD上，故BC〃AD・又由AB=CD知ZA=ZCDA,因为SR〃PQ〃BA,所以ZSRD二ZA二ZCDA,从而SR二SD・由PS〃BC及BC二CD知SP二SD・而SP二DR,所以SR二SD二RD故ZCDA=60。.因此四边形ABCD还应满足BC〃AD,ZCDA=60°.(注：若推岀的条件为BC〃AD,ZBAD=60°或BC〃AD,ZBCD=120°等亦可.)点评:三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据

4、三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.如图，在ADEC中，DE=DC,过DE分别作圆01,交EC、DC于B、A,过B作BF垂直DC于F,延长FB叫01fG,连接DG交EC于H。求证：（1）BF经过圆02的圆心02（2）若EH二6,BC二4,CAM.8,求DG的长？证明：连AB则ABED是圆内接四边形所以角BAO角E又DE二DC,所以角E-角C所以角BAC二角C所以AB=BC,所以弧AB二弧BC即B是AC弧中点，乂BF垂直DC所以BF过02（垂径定理）⑵角FBC-角EBG（对顶角相等）角EBG二角EDG（同弧所对的圆周角相等）所以角FBC二角EDG又角

5、E-角C而角C+角FBC=90度所以角EDG+角E=90度DG垂直EC又因为DE=DC所以H是EC中点EC=2EH=2*6=12由割线定理得BC*CE二CA*CD可求CD=10所以DE=DC=10在直角三角形DEH中,市勾股定理得:DH=8HB=CH-BC=6・4=2由相交弦定理得DH*HG=EH*HB可求GH二1.5所以DG二DH+HG=8+1.5=9.5（2006*岳阳）如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,E是边AB±一动点，过点E作EF丄AB交AD的延长线于点F,交BD丁•点M.（1）请判断ADMF的形状，并说明理由.（2）设EB=x,ADMF的

6、而积为y,求y与x之间的函数关系式.并写出x的取值范围.考点:等腰三角形的刈定；根据实际问题列二次函数关系式•专题:动点型.分析:（1）ADMF是等腰三角形.主要利用菱形ABCD屮，ZA=60这个条件得到ZE、ZDMF的度数來判断;（2）不能直接表示ADIVIF的而枳，采用而积分割法，用AAEF、ABEM來表示它・•••四边形ABCD是菱形AAB=ADTZA=60°•••ZABD=60°VEF1ABAZF=30°,ZDMF=ZEMB=30°AZF=ZDMF•••DM二DF（5分）(2)EB=x,贝ijAE=4-x,EF=VS(4-x),EN=275ANF=EF-E

7、N=旳(2-x),FM=2V3(2-x).VMN=NF=価(2-x)ADN=MNtan30°=2-xAy=V5(2-x)2(9分)(0

8、573)/