高中立体几何初步小结

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1、《立体几何初步》精要总结一、空间几何体1.棱柱：有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两面的交线都平行。（1）分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱,五棱柱等。（2）棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形；③过棱柱不相邻的两条侧棱的截

2、面都是平行四边形。2.平行六面体：底面是平行四边形的柱叫做平行六面体。（1）｛平行六面体｝?｛直平行六面体｝言｛长方体｝艮｛正四棱柱｝?｛正方体｝;（2）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和，即。3.正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这样的棱锥叫正棱锥。待别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。s性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧

3、面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形徐、C底边上的高（叫斜高）也相等；②正棱锥的高力、斜高/、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径厂）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径/?）、底面的半边反可组成州个首角=角形4.正棱台：由正応锥截得的棱台叫正棱台。正棱台的特性，尤其是正棱台的上、下底面半径、边心距和侧棱、斜高和台高所形成的三个直角梯形和两个直角三角形，在解决问题中往往起到关键的作用。直角梯形可以转化为直角三角形，这四个直角三角形包含了正棱台的主要元素，底面边长、边心距、高、斜高，应用它们之间的关系就可以解决正棱台的有关计算问题。5.球：球

4、的截面的性质：①用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直。②如果用和厂分别表示球的半径和截面圆的半径，d表示球心到截血的距离，则R二宀厨,即球的半径，截面圆的半径，和球心到截面的距离组成一个直角三角形，有关球的计算问题，常归结为解这个直角三角形。提醍：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部6.折叠问题：要将折叠前后的两个图形对照考察，弄清所涉及的元素在折叠前后的数量关系或位置关系。7.儿何体表面内两点间的最短距离问题：（1）柱、锥、台的表面都可以平面展开，这些儿何体表面内两点间最短距离，就是其平面内展开图内两点

5、间的线段长.由于球面不能平面展开，所以求球面内两点间的球面距离是一个全新的方法，这个最短距离是过这两点大圆的劣弧长。矩形AA}C}C的外接圆，易得R=A}0——a2图1D1CC1(2)球血距离(球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度儿1.球与正方体的接切问题：(1)正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为。，球半径为如图1,截面图为正方形EFGH的内切圆，得R=-(2)与正方体各棱相切的球：球与止方体的各棱相切，切点为各棱的屮点,如图2作截面图，圆0为正方形EFGH的外接圆，易得

6、”二如图3,以对角面A4］作截面图得，圆0为(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上,——ai3/A2.球与正四面体的接切问题：问题：正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正卩q面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解z。如图4所示，设点o是内切球的球心，正四面体棱长为Q.由图形的对称性知，点o也是外接球的球心.设内切球半径为厂，外接球半径为/?•正四面体的表面积S表=4x弓a正四面体的体积匕一诚=导弓aV23——a12•表-r-VA_BCD,在RtABEO中，BO2=BE2+E02,即得卜乎得

7、/?=3r说明：由于

8、正四面体本身的対称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的I丿L

9、h3/2等分点，即内切球的半径驾(〃为正四面体的高)，且外接球的半径亍从而可以通过截面图中RtAOBE建立棱长与半径之间的关系o二、直观图和三视图直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：①使ZrVy=135°,所确定的平面表示水平平面。②已知图形屮平行于兀轴和z轴的线段，在直观图屮保持长度和平行性不变,平行于y轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。（2）斜二测画法直观图和原图面积关系S^—So4（3）三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的

10、高要保持平齐；长对正：主视图与俯视图的长应对正；宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等；三、三个公理和三个推论：（1）公理1：