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1、1.（热点考向三一与圆有关的轨迹问题）【例3】设泄点M（—3M），动点N在圆疋+丫=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONR求点P的轨迹.【自主解答】如图所示，设P（gy）,N（⑪,则线段OP的中点坐标为（手，必），线段MN的中点坐标为（宇,吵）.因为平行四边形的对角线互相平分,,x_Jb—3y—W+4故2_2'2_29从而N（39y—4）在圆上9故（3）J+（y—4）2=4.因此所求轨迹为圆:（工+3）‘+（y—4）'=4但应除去两点：（—■■9些）和（一~C点P在OM所在的直线5555上时的情况）.2•动点P到两x2+y2
2、-2=0与x2+y2-8x+10=0所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是依题意9可得(V分+¥)'—(挖)2=(V(x—4)2+y)2—(J6)2,化简得工=弓・答案2=3•已知直线Z:y=kx+1与圆C:(x-2)2+(y-3)2=l相交于A，B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；(2)若O为坐标原点,S(k)表示AOAB的面积，f(k)=[S(k)]2+p^f(k)的最大1⑴直线I与y轴的交点为N(0,l),圆心C(2,3),设M(x,y)//MN与MC所在直线垂直，=-1(xHO且xH2)xx-2当x=0时不符合题意,当x
3、=2时,y=3符合题意，AAB中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y+3=0,VAB中点在圆C内，由x2+y2—2x—4y+3=0(x—2)2+(y—3)2=1_7±J7.7_厅<7+界得8x2-28x+21=0,解得乂_4…44(2)设A(x9y)9E(芯9些)9S/sqab=S△(釈b—Saona9且IONI=19IX2—Xi
4、,将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=l<(l+fe2)or-4(l+fe)x+7=0,•/Xi+X2:4(l+fe)1+fe27i+¥,•*•4Saoab=丨卫—dI2=(Xi+x2)2
5、—4Xi•x2_32上一12—12圧=~(1+fe2)2~'3_8fe・・•由/(fe)=fe2+l_(fe2+l)2-24(fe+y)(fe-y)(圧+1)3・・・A>0得气也VjfeV号込・•・fe=2f时/仏）的最大值为岑14.（热点考向二
6、圆与圆的位置关系~）【例2】已知圆M：x2十b—2thx—2ny+m2—1=0与圆N：j^+y+2x+2y—2=0交于A、E两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其屮半径最小时圆M的方程.【自主解答】由圆M的方程知圆心M(m.n).Iar+y—2mx—2ny+m2—1=0
7、又由方程组9,Irr+y+2x+2y—2=0得直线AB的方程为2(加+1)卄25+l)y-显一1=0.又AE平分圆N的圆周.所以圆N的圆心N(—J—1)在直线AB上.2(m+1)(-1)+2(n-1)(-1)-m2-1=0./.m2+2?n+2n+5=0,即(m+1)2=—2(n+2)(*)••.(x+l)2=-2(y+2)即为点M的轨迹方程.又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小•此时
8、MN
9、也最小.d=V(mH-1)2+(n+1)2=7—2(n+2)+(n+l)2=Vn2—3.由(关)可知nW—21・即最小值为1•此
10、时m=—1・n=—2.故此时圆M的方程为(x+l)2+(y+2)2=5.C热点考向四
11、圆方程的综合应用问题）【例4】（12分）如图，已知圆心坐标，为（阿，1）的圆M与工仙及直线，=佰工分别相切于A.B两点，另一圆N与圆M外切、且与oc轴及直线y=心工分别相切于C.D两点.（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作A线MN的平行线2,求直线2被圜N截得的弦的长度.【标准解答］(1)VM的坐标为(73.1).则MA_Lx扌由,NC_Lx扌ib・由题意知：M・N点都在ZCOD的平分线上.・・・O・M・N三点共线.由RtAOAMc^RtAOCN
12、可知.则0C=3J3.则圆N的方程为(j3)2+(y-3)2=9.6分(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度卩此弦的方程是y=y(x-J3),即龙一打y—扼=0,9分圆心N到该直线的距离d=y,则弦长为2Vr-d?=/33.12分【变式训练】在直角坐标系xOy屮，以0为圆心的圆与直线x-JSy=4相切.(1)求圆0的方程；(2)圆0与工轴相交于A、B两点，圆内的动点P使
13、PA
14、JPOI、丨PBI成等比数列，求P入•P©的取值范围.【解析】(1)依题意，知圆O的半径厂等于原点0到直线x-J3y=4
15、的距离，即r=—=2、V1+3故圆()的方程为x2+y=4.(2)不妨设A(Xi,0)9E(卫9O)9eVa；2,易知A(-2,0),E(2,0)・设P(x,y),由IPAI、POI.IPB
16、成等比数列，得v(x+2)2
