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1、数学例题汇编⑴如图1,己知正方形ABCD,E是AD上一点，F是BC上一点,G是AB上一点，H是CD上一点,线段EF、GII交于点0,ZE0H二ZC,求证：EF二GH；(2)如图2,若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明;(3)如图3,若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且AD-mAB,其他条件不变,探索线段EF与线段GH的关系并加以证明。附加题：根据前血的探究，你能否将木题推广到一般的平行四边形情况？若能.写出推广命题，画出图形.并⑴略证:如图，过点F作FM丄AD于M,过点G作GN丄CD于N,证AGNH^AFMEZ.EF-
2、GH(2)略证:如图，过点F作FM丄AD于M,过点G作GN丄CD于N,ffiAGNH^AFMEAEF=GH(3)略证:如图,过点F作FM丄AD于此过点G作GN丄CD于N,fiEAGNH^AFMEGHGN==m■EFFM••附加题：己知平行四边形ABCD,E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，I］是CD上一点，线段El；、GII交于点0,ZE0H=ZC,AD=mAB,则GH=mEF。略证：如图，过点F作FM丄AD于M,过点G作GN丄CD于N,证厶GNH^AFMEGHGN==m:.EFFM,即GH二mEF在ZXABC中，ALWAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一
3、边在AD的右侧作AADE,使AD-AE,ZDAE^ZBAC,连接CE・（1）如图1,当点I）在线段BC±,如果ZBAC=90°,则ZBCE二度；⑵设ZBAC=a,ZBCE=P.①如图2,当点D在线段BC上移动，则a,BZ间有怎样的数量关系？诸说明理由;②当点D在直线BC上移动，则a,B之间冇怎样的数量关系？请肖接写出你的结论.E图1讲解：解:(1)90°.理由：JZBAC=ZDAE,・•・ZBAC・ZDAC=ZDAE・ZDAC.BPZBAD=ZCAE.在△ABD与ZACE中，(AB二ACJZBAD=ZCAE[ad=aeAAABD^AACE,.ZB=ZACE.・•・ZB+ZACB=ZA
4、CE+ZACB,・•・ZBCE=ZB+ZACB,又VZBAC=90°AZBCE=90°；(2)©a+p=180°,理由：•・•ZBAC=ZDAE,・•・ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.即ZBAD=ZCAE.在ZABD与AACE中，卜BMCJZBAD二匕CAEIad=aeAAABD^AACE,・•・ZB=ZACE.・•・ZB+ZACB=ZACE+ZACB.AZB+ZACB-3,・•・a+ZB+ZACB=180°,Aa+p=180°；②当点D在射线BC上时，a+0=180°；理由：VZBAC=ZDAE,・•・ZBAD-ZCAE,VAB=AC,AD=AE,AAABD^AACE(SAS
5、),AZB=ZACE,VZBAC+ZB+ZBCA=180°,・•・ZBAC+ZBCE=ZBAC+ZBCA+ZACE=ZBAC+ZBCA+ZB=180°,••・a+B二180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，a=P理由：VZDAE=ZBAC,AZDAB=ZEAC,VAD=AE,AB=AC,AAADB^AAEC(SAS),・•・ZABD=ZACE,JZABD=ZBAC+ZACB,ZACE=ZBCE+ZACB,・・・ZBAC二ZBCE,即a二B.如图，菱形ABCD中，ZABC=60°,有一度数为60°的ZMAN绕点A旋转。(1)如图①，若ZMAN的两边AM.AN分别交BC、CD于点E、F,
6、则线段CE、DF的大小关系如何？请证明你的结论。(2)如图②，若ZMAN的两边AM、AN分别交BC、CD的延长线于点E、F,则线段CE、DF还有(1)中的结论吗?请说明你的理由。讲解：解：(1)猜想：CE二DF理由：连接AC,•・•菱形ABCD的四条边相等，且ZABC-600则：ZD=ZACB且AOAD又VZNAM=ZDAC=60°・・・ZDAF二ZCAE。・•・曲三角形全等的判定定理可知：ADAF丝△CAE,贝I」：CE二DF。(2)若ZMAN的两边AM、AN分别交BC、CD的延长线于点E、F,则可由第(1)小题的方法类似可证得:ADAF^ACAE,故而仍可知：CE=DF例题4:一次数
7、学合作学习活动屮，明明提出这样三个问题，请你帮他解决：(1)把正方形ABCD与等腰直角三角形PAQ如图1所示重叠在一起，其中ZPAQ-90°。点Q在边BC上，连接PD,△ADP与全等吗？请说明理由。(2)如图2,0为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点0重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N,试探索01与ON的数量关系，并说明理由。(3)如图3,将⑵中的“正方形”改为“矩形”，其他条件
