函数奇偶性精选讲义

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1、8三.函数的奇偶性1•函数的奇偶性的定义:设y=/(X),A,如果对于任意X6A,都有/(-X)=-/(%),则称函数y=/(x)为奇函数;如果对于任意都有/(-X)=/(X),则称函数y=/(兀)为偶函数;判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:/(%)±/(-x)=0,丿型=±1・/X-兀)按照函数的奇偶性分:奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数2•奇偶函数的性质:(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称;(2)/(Q是偶函数o/(切的图象关于y轴对称;/⑴是奇函数o/(兀)的图象关于原点对称;(3)奇函数

2、在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.若奇函数/(Q的定义域包含0,则/(0)=0.4.判断函数的奇偶性的方法:(1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断/(%)=-/(%)或/(%)=/(-%)是否定义域上的恒等式;(2)图象法;(3)性质法:设f(x),g⑴的定义域分别是2,2,那么在它们的公共定义域D=D}nD2±:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇X奇二偶,偶X偶二偶,奇X偶二奇;例1.判断下列函数的奇偶性:(1)/(x)=x2-

3、(2)/(x)=5x4-x2+3(3)/(x)=4x5-7x3+x(4)/(x)=8x6-lx3+6x(5)/(x)=x1-54-Vs-x21+X(7)f(x)=log6f(其中a>0,QH1)1-x(8)/(兀)x(l一x)x(l+x)U<0),(x>0)._^4-x2x—5+兀+4例1.(1)非奇非偶(2)偶(3)奇(4)非奇非偶(5)既奇又偶(6)奇(7)奇(8)奇(9)偶巩固练习:1.给定函数:①尸丄(xHO);②尸,+1:③尸2";④尸log?七⑤.尸l()g2(丹J”+1).在这五个函数中,奇函数是—①⑤,偶函数

4、是②,,非奇非偶函数是一③④2・下列函数屮,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()AA.y=—兀‘,兀GRB.y=sinx,C.y=xrD.x^R1.给出下列函数①y=xcosx②y=sin?x③④y=“一厂,其中是奇函数的是()BA.①②B.①④C.②④D③④2.下面四个结论屮,正确命题的个数是:①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(Q=oawR)()AA.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)=ax+bx+c(5^0)是偶函数,那么g(

5、x)-ax+bx+ex是()AA.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数函数f(x)=¥2A的图彖A•关于丿京点对称B•关于I[线y=x对称()DC.关于x轴对称D.关于y轴对称/(x)=函数2x-2-X的图象(A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.关于直线>,=X对称例2.若f(小写于为奇函数,求实数川值.巩固练习:1.设函数f(x)=(x+l)(x-l-a)为偶函数,则。=-12.设函数(兀GR)是偶函数,则实数a的值为•-13.已知函数几丫)="2;丁;—2是定义在实数集上的奇函数,则a的值=.

6、1rI234.若函数7W=(2x+i)(£_q)为奇函数,则Q=(A)A.2B.jC.牙D.15.已知=ax+bx+?m+b是偶函数,且其定义域为[曰一1,2臼],则&=—,b=0_.—36.已知/⑴二亠+加为奇函数,则/(-I)的值为—:—2+167.已^0f(x)=ax7+bx5+ex3+5,其中a,b,c,d为常数,若/(-7)=-7,则/(7)=191_r1

7、8•已知函数/(x)=lg——,若f(a)=h,则f(-a)=(B)A./?B.—bC.一D・一一1+xbb例3.函数/(x)是在(-00,4-00)上的偶函数

8、当施(-00,0)时,f(X)=X-X4,则当兀W(0,+oo)时,f{x)=巩固练习:1.若/(朗是定义在R上的奇函数,且当XV0吋,/(x)=—,则f(=_2.x+122.设/(x)是定义在/?上的奇函数,当兀50时,f(x)=2x-X,则/(1)=A()(A)-3(B)-1(C)1(D)33.已知函数沧)为定义在只上的奇函数,当xMO时,心)=2"+2兀+血伽为常数),则/(-I)的值为(A)A.-3B.-1C・1D.3[2x—3,(x>0),4.如果函数g(x)=是奇函数,则/(x)=2r+3.丽,(x<0)—x2

9、+2x,x>0,3.已知函数Xx)=KX=O,是奇函数.⑴求实数加的值;(2)若函数沧)在区间[―1,G—2]上2、兀+皿,x<()单调递增,求实数Q的取值范围.(1)M=2(2)(1,3]例4.已知奇函数/(x)是定义在(-2,2)上的减函数,若f(m-1)+>0,求实数加取值范围.巩固

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