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《离散数学复习资料_试卷_习题与答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、离散试卷及答案离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1.求证边长为1的正方形中放9个点,由这些点构成的三角形中,必有一个三角形面积小于。证:把该正方形均分成四个相同的小正方形,则由鸽笼原理知,必有一个小正方形内存在三个点,且这三个点构成的三角形面积小于。#2.对一列个不同整数,任意排列,证明一定存在长为的上升子序列或下降子序列。证:设此序列为:,从开始上升子序列最长的长度为,下降子序列最长的长度为,每一个都对应了。若不存在长为的上升子序列或下降子序列,那么,形如的不同点对至多有个,而有个,则由鸽笼原理知,必有同时对应,由于,若,则至少比大1,若,则至少比大1,这均与矛盾。
2、故原命题成立。#3.求中不被3、4、5整除的个数。解:设表示中被3整除的数的集合,表示中被4整除的数的集合,表示中被5整除的数的集合,则,,进而有故有即中不被3、4、5整除的个数为40。#4.有100个学生,其中60个爱看小说,30个爱下棋,10个既爱看小说,又爱下棋,5个既爱看小说,又爱跳舞,没有既爱下棋,又爱跳舞的,三种活动都不爱的有10个,问有几个学生爱跳舞?解:设全体学生的集合为,爱看小说的学生集合为,爱下棋的学生集合为,爱跳舞的学生集合为,则依题意有,,,从而,。另一方面,根据容斥原理,我们有,即有,故,即有15个学生爱跳舞。#第72页共72页离散试卷及答案二、数
3、理逻辑5.求的主析取、主合取范式。解:取真为:(1,1),(0,0),(0,1);故的主析取范式为;取假为:(1,0);故的主合取范式为:。6.求的主析取、主合取范式。解:取真为:(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1);故的主析取范式为;取假为:(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0);故的主合取范式为:。7.(1)将式子“并非跑的最快的马吃的最多”翻译成用谓词和量词表达的逻辑式子。(2)将式子“爱因斯坦于1952年写完‘狭义与广义相对论浅说’”翻译成用谓词和量词表达的逻辑式子。解:(1):马;:跑的最快的马;:吃的最多的马。上
4、式表示为:(2)设:爱因斯坦;:1952;:‘狭义与广义相对论浅说’;:于年写完;则原式子可翻译成逻辑式子。8.求下述公式的前束范式和Skolem标准形。解:======故该公式的前束范式为;Skolem标准形为。#第72页共72页离散试卷及答案9.将下列命题符号化,并证明其论证是否正确。不存在白色的乌鸦;北京鸭是白色的。因此,北京鸭不是乌鸦。解:令是白色的;:是乌鸦;:是北京鸭。则上述命题可符号化为:下面,我们证明上述命题是正确的。(1)(P)(2)(US)(3)(CP)(4)(分离规则)(5)(量词转换律)(6)(US)(7)(T,(4))(8)(9)(UG)#三、二元
5、关系10.(1)举出正整数集上一种关系,它是等价关系但不是偏序关系;(2)举出正整数集上一种关系,它是偏序关系但不是等价关系。(3)画出集合上整除关系的Hasse图。(4)等价关系与划分关系解:(1)正整数集上模3的同余关系。(2)正整数集上的整除关系。(3)241286432111.(1)举出正整数集上一种二元关系,它是等价关系又是偏序关系;(2)画出的Hasse图,其中。解:(1)正整数集上的恒等关系。第72页共72页离散试卷及答案(2)6432112.设,定义上的一个二元关系如下:(1)画出的关系图,并写出的关系矩阵;(2)求,;(3)求,,。解:(1)(2)(3)又
6、故13.设是正整数集关于整除关系作成的偏序集,的子集,求的极小元、极大元、上界、下界、最小上界、最大下界。解:(略)四.图论14.(1)画一个图,使它既有欧拉回路,又有哈密顿回路;(2)画一个回路图,使它既无欧拉回路,又无哈密顿回路。解:(1)第72页共72页离散试卷及答案(2)或15.(1)画一个图,使它有欧拉回路,无哈密顿回路;(2)画一个回路图,使它无欧拉回路,有哈密顿回路。解:(1)(2)16.证明小于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度数小于5。证:(反证法)假设小于30条边的简单平面图中每一个顶点的度数大于等于5,从而此时顶点数与边数满足;另一方面,由于此时图
7、的每一个区域至少由3条边围成,从而由Euler公式推论知,此时顶点数与边数满足;故有,进而有,这与已知条件产生矛盾。故小于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度数小于5。#17.证明具有6个顶点和12条边的连通简单平面图,它的每个区域都是由三条边围成。证:由题意及欧拉公式知,其区域数为。若有一个区域不是由三条边围成,则至少由4条边围成,从而8个区域至少需要25条边才能围成,即图中的边数不少于25/2=12.5,这与已知条件12条边产生矛盾,故它的每个区域都是由三条边围成。#18.设,任意顶点的次(度)不少于2,且任