4-4-变上限积分函数及其导数

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1、模块基本信息一级模块名称积分学二级模块名称基础模块二级模块名称变上限积分函数及其导数模块编号4-4先行知识1、定积分的概念■■■帳!块编号4-22、定积分的性质模块编号4-3知识内容教学要求掌握程度1、变上限积分函数及原函数的概念1、理解变上限积分函数及原函数的概念一般掌握2、变上限积分函数的求导2、掌握变上限积分函数的求导能力目标培养学生知识类比、迁移的能力时间分配45分钟编撰王明校对熊文婷审核危子青修订人张云匾二审危子青一、正文编写思路及特点思路：先复习定积分的概念和性质，给出变上限积分函数的定义,通过两个定理来展示变上限积分函数的性质.特点：引导学牛根据已学过的相关知识理

2、解新知识二、授课部分（-）新课讲授前面我们利用定积分的概念计算了定积分的值，从中我们可以看到利用定义来求定积分是一件十分麻烦而困难的事，因此我们必须寻找一种计算定积分的新方法，即后面要学习的微积分基木定理。为了学习微积分基本定理，我们先来研究变上限积分函数及其导数的相关知识，为微积分基木定理的证明做准备.1、变上限积分函数定义：设函数/U）在区间［⑦洌上连续，并且设x为abi上的一点,考察定积分打（兀加，如果上限兀在区间［。,创上任意变动，则对于每一个取定的兀，定积分都有一个相应的积分值与之对应•因此它在⑺,创上定义了一个函数，称为变上限积分函数，记作①（兀兀,为明确起见，常记

3、作o（x）=£7（/w/o说明：当/（X）＞0,利用定积分的几何意义可以直观地看到积分上限的函数所表示的意义：积分jy⑴力表示图1中阴影部分的面积.卜•面讨论这个函数的可导性定理1如果函数几。在区间0,甸上连续，则函数O(x)=［^f(x)dx在s,切上具有导数，并且它的导数为①‘⑴Wt=f(x)(a()时,.于是0仪丿=1曲竽=hmf^=hmf^)=f(x).山7)AxAxt()若x=a,取&>0

4、,贝【J同理可证①+(x)=f(a);若x=b,取Ax<0,则同理可证①_©)=f(b).注：(1)变上限积分函数的导数其结果为被积函数/(X)本身(2)若e(x)=/O),则称函数①(x)为/(兀)在［a,b］上的一个原函数.此定理说明连续函数一定存在原函数，它其中的一个原函数就是一个变上限积分函数.2、例题例1求下列函数的导数：⑴①（兀）=[cos⑵+l）df（—级）（2）①（兀）=JRcos3/df（一级）⑶①（兀）=『/力（二级）⑷①（x）=J:必（二级）解:（1）直接利用积分上限函数的求导法则,Q>3=cos（2兀+1）.(2)O(x)=-£e{cos3tdt,则①'

5、(兀)=-excos3x.(3)①(x)=J&力可视为g(u)=j"/力与构成的复合函数，则由复合函数求导公式可得①G)=g3)"=/•2x=2xex4.说明：利用此方法，可推出一般公式([：⑴f⑴山)1=.f(°(尤))0(尢)223(4)①(x)=(&/+-e!dt=[eldt-[erdtJ.v3JoJoJo23则①©)=(£e1dt)*-(£"eldt)*=/•2x一/•3x2说明：一般的，若①(x)=『(：/(/)〃/,有①(兀)=/(g(x))g(兀)一/(/2(X))A(X)求极限lim^C°SZxtOx（二级）解：此极限是#型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函

6、数的导数公式得原式二Hm竺匚=1A->0]例3求极限lim—・（二级）XT0X解：此极限是#型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数的导数公式有limA->()x->0rcosxs=limx->()_严“•(cos兀)，2xr_£ye・（cosQve^^sinx=lim=lim心02x入to2x=丄lim厂叫Hm竺兰=-e~l2xtoxtox2三、能力反馈部分1、求下列函数的导数（掌握变上限积分函数的求导）（1）①（x）=J：tan（,+1）dt（一级）（2）①（兀）=[!»力（一级）⑶①（兀）=匸号G（二级）2、求极限（利用变上限积分函数的求导求极限）[Xsintdt（1）

7、lim—•（二级）（2）lim（二级）XT01一COSX