李豪数学论文

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1、投资组合的收益风险分析荷泽一中高二36班李豪指导教师孙国林摘要：本文探讨了投资组合的风险和收益问题，考虑到投资者对风险尽可能小、收益尽可能大的追求，建立了多目标线性规划模型，通过设置投资者偏好系数，线性加权综合两个目标，将模型简化为单目标线性规划模型求得最优解，以期获得最小风险和最大收益。关键词：投资组合；风险收益；多目标规划；单目标规划；偏好系数一、问题重述在日常经济活动中，收益和风险往往相伴而生，不同的投资项目有不同的风险和收益。可用资金是有限的，而每个项目都需要投资成本。因此，在资金总额约束下，对一

2、批成本一收益一风险各不相同的项目进行权衡并作出投资决策成为经济生活中的重要问题。为研究此问题，假设市场上有〃种资产sf=1,2,…昇2）可以选择,现用数额为M的相当大的资金作为一个时期的投资。这种〃资产在这一吋期内购买®的平均收益率为厂风险损失率为⑺，考虑到投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的勺最人的一个风险来度量。购买耳时要付交易费，费率为门，且当购买额不超过给定值色时,交易费按购买色计算（不买则无需付费）。同时，假定同期银行存款利率是且既无交易费又无风险。（5=5%）已知〃=4时，相关数据如表

3、1表14(%)幺(%)Pi(%)ut(元)282.51103$2211.52198235.54.552$4262.66.540要求：试设计一种投资组合方案，即用给定资金，有选择的购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。二、问题分析资产预期收益的不确定性导致了风险的产生，在日常生活中，投资者一般需要考虑两种情形：一是在风险一定的情况下，取得最大收益；二是在收益一定的情况下，承受最小风险。因此，根据题意和一般投资者心理，我们的冃标是对各种资产组合投资以后，不仅收益尽可能人，同时总体风

4、险还要尽可能小。追求大的收益和小的风险构成一个两目标的优化问题，可以通过建立双目标规划模型并简化为单目标线性规划模型，求解最优组合。当然，最优投资还需要考虑人的因素，即投资者对风险和收益的偏好程度，怎样解决二者相互关系也是模型要解决的重耍问题。三、模型假设1、投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=12、投资越分散，总的风险越小3、总体风险用投资项目》中最大的一个风险来度量4、〃种资产亠•之间是相互独立的5、在投资这一吋期内，"4，%为定值，不受意外因素影响6、净收益和总体风险只受gpMi影响，不受其他因

5、素干扰四、符号说明参数范围说明Sii=1,2,…/第种投资项目M相当大，假设为1投资总额rti=1,2,・・・，〃投资®的平均收益率Pii-1，2,・・•，〃投资耳的交易费率4i=1,2,-••/投资的风险损失率i=1,2/・・,〃投资®的交易金定额%5%同期银行利率i=1,2,-••/投资®的资金注：对于同期银行存款，其相应符号分别表示为等Sogqz，其中门，4•为0,部分符号下文相继引出五、模型建立与求解1、模型建立1）由题意知，总休风险用所投资的卩中最大的一个风险来衡量，将同期银行存款记为50，则总

6、体风险0（兀）=maxqjxi,0u^3）总投资额M分别用于投资亠•和支付交易费，即M=工（舌+c©））z=0则对®投资的净收益为尺（兀）=rixi-q（兀）因为题目给定的定值你相对于总投资M很少，门色史小，仅为103x1%+198x2%+52x4.5%+40x6.5%=9.93（元），可以忽略不计，这样投资耳的净收益可以记为1^©）=（斤一pJXj则投资组合兀=（兀0丹・・

7、・,£）的净收益为恥）=亍尺（兀）/=04）要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，可以建立一个多冃标优化模型I:目标函数为:maxR=Y(c—“”/=0min约束条件为:若（1+P）"M［壬>0,i=0丄・・・，〃2、模型简化在对于上述双冃标规划模型，可以用多种方式简化为单冃标线性规划模型进行求解。可以固定风险水平，优化收益；可以固定收益水平，极小化风险。本文则权衡投资者对风险和收益的偏好，采取线性加权法，对风险、收益分别赋予权重2（0）<2<1）和（1-2）,2称为投资偏好系数。2反映了风险投资中投资者

8、的主观因素，2越小表示投资风险越大，特别的2=0表示只顾收益不顾风险，这样的投资者可能取得最大收益；2=1表示只顾风险不顾收益，这样的投资者会将所有资金存入银行。将模型I简化为模型II,选择2的不同值进行求解，寻找投资和风险之间的相互依存规律，再根据投资者对风险的承受能力，确定投资方案。模型IIminF（x）=AQ（x）-（1-A）R（x）stZd+Pi=M,xt>0i=0,1,2,•••,/!/=0上文已假设M=l,此时（1