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1、新疆石河子大学毕业论文作者：阿迪力江・阿布都外力学号：2008010198院系：师范学院数学系专业：数学与应用数学题目：数学教学中构造的艺术指导老师：邓新娜2012年5月20日毕业论文中文摘要:“构造法”在立体几何中的应用在许多立体几何问题屮，由于图形的不规则，因而线而关系也不是很直观、明显,如果我们依题设条件，构造出一个特殊的几何体（如：正方体、长方体、正四面体等），并将其“嵌入”其中，有些线面的关系就会变得更加清晰，问题也就迎刃而解。例1・对于直线in、n和平面a、B,能得出a丄B的一个条件是（）A.m±n,m//a,n//B呂m丄n,^n^=m,n匚戸
2、Cm//n,n丄0,muaDm//n,m丄a,n丄0解析：如图1所示，构造一个正方体ABCD—ADCD进行观察判断，对于A,把AD看作直线m,BB看作直线n,把平面BBCC作为平面a,平面AAQC作为B。虽满足m丄n,m//a,n//B,但a不垂直于B,从而否定（A）o同样可排除（B）＞(D),因此选(C)o图1点评：空间的线面关系的判断，若是以选择题出现，通常采用构造一个符合己知条件的立体图形，来排除其小的错谋命题。例2.正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF、SA所成的角等于（）A.90°B.60°C.
3、45°D.30°解析：本题的正三棱锥S-ABC即为正四面体，将正四面体S-ABC“嵌入”到正方体中，使正四面体的棱分别是止方体六个面的面对角线（如图2所示）。易知EF是正方体的两底面中心的连线，与正方体的一条侧棱平行，而SA与该侧棱所成角是45°,故异面直线EF与SA所成的角等于45°,故选（C）项。图2点评：由所给的儿何体它的各棱长都和等，极易联想到止方体。木题通过构造一个正方体，将正四面体S-ABC“嵌入”其小，使得所求问题变得非常直观明了。例3.如图3所示，已知三棱锥P—ABC,PA=BC=,PB=AC=10,PC二AB二试求三棱锥P—ABC的体积。图
4、3解析：注意到三棱锥有三对对边分别相等，若把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。如图4所示，构造一个长方体AEBG—FPDC,易知三棱锥P—ABC的各边分别是长方体的面对角线。不妨令PE=x,EB=y,EA=z则由已知有解得x二6,y=8,z=10从而故所求三棱锥P—ABC的体积为160。图4点评：本题也可看作是将三棱锥P-ABC“补形”成一个长方体，曲于长方体的体积更易计算，但这种“补形”是有一定难度的，如果我们平时对长方体进行过不同形式的“分割”的话，那么将三棱锥“嵌入”长方体中就十分自然。例4.已知球0的半径为1,A、B、C三点都在球面上，且每两
5、点间的球面距离均为A.,则球心0到平而ABC的距离为（）276C.3D.3解析：作出这个图形有一定困难，抓住0、A、B、C这四个关键点，构造一个空间图形，结合条件加以分析。由条件知0A=0B=0C=l,ZA0B=ZB0C=ZA0C=如图5所示，球心0与A、B.C三点构成正三棱锥0—ABC则其高故选(B)项图5点评：在许多球的问题屮，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体(俗称“骨架图”)，把球问题转化为多面体问题来加以解决
