毕业论文：管道包扎问题的数学模型论文

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1、管道包扎问题的数学模型论文管道包扎问题的数学模型摘要：本篇论文讨论管道的包扎问题•是一个三维空间的问题我采用剪切的方法把空间问题转化为平面问题建立刚好全部包扎所用带子最短模型和管道包扎出现接缝处重叠模型然后利用数学软件Matlab求解.在图1中，求得最短带子包扎的通用表达式并代入题目给出的数据得到第一个问题的最短长度为50.4米在图2和图3屮，采用近似的处理方法求出管道包扎接缝处重叠带子宽度的表达式代入第二个问题的数据得到带子的重叠宽度为0.004米.论文的最后对临界角0和截面是正多边形的管道的情

2、况作进一步的讨论并得到更一般的模型•关键词：临界角临界点临界长度等量关系1问题的提出用宽度为0.3m的带子缠绕包扎圆柱型管道，管道长30m,截面周长为0.5m.1如果用带子全部包住管道，最少要用多长的带子，请你给出计算这个最小长度的公式，并且依次计算出所需长度数值.2现有一条长度为51m的带子，想将这条带子全部用于缠绕包扎这个管道，可以使带子的接缝处重叠瘩接.请你给出用这条带子缠绕包扎这个管道的方案•（计算结果精确到0.001m）3如果管道截面是正三边形正四边形或边数更多的正多边形.2问题的分析生

3、活的经验告诉我们在包扎圆形管道的过程中如果开始包扎时带子边缘所在的直线与管道母线的夹角过小就可能出现不能把管道全部包扎的现象如果夹角过大就可能出现包扎带子在接缝处重叠的现象.所以随着夹角的增大总会出现在接缝处恰好接合而没有重叠的情况•这种特殊的情况就是第一问的求解问题称此时包扎带了的长度为临界长度带了边缘所在的直线与管道母线的夹角为临界角管道任一端的带子截口所在边与管道截面的交点称为临界点•如果给定一段带子的长度大丁临界长度则总能找到一种包扎方案使得整条带子全都包扎完其中接缝处有重叠.当管道的截面

4、为止多边形时我们把正多边形的直棱柱管道看作圆形管道的变形来处理即止多边形的直棱柱管道的平面展开图与圆形管道的平面展开图是同样的.3模型的假设1管道没有厚度即把管道剪开图看成平面不考虑空间结构2管道是刚性物体带了也不具备弹性3管道截面是圆形或正多边形整条管道粗细均匀4包扎过程中带子的宽度不变，带子也不能切断5带子没有厚度且两端截口垂直于它的边•即把带子看成一个长方形不考虑空间结构4符号的约定1)a-…带子的宽度2)b-----管道的长度；3c管道截面的周长4)1带子的长度50---带子截口所在的直线

5、与管道母线的夹角6S1--直角三角形AED的面积7S2—-直角三角形OBF的面积8S3—-四边形COHG的面积9x--带子重叠部分的宽度10y—重叠部分的带子长度11m——截面正多边形的边长12n--截面正多边形的边数.5模型的建立和求解5.1刚好全部包扎所用带子最短模型经过临界点沿着管道的母线切开得到矩形ABCD如下图1:图1其中矩形ABCD为管道的侧面展开图三角形AED为直角三角形四边形OHGC.定理1直角三角形AED的面积等于直角三角形OBF和四边形OHGC之和.证明线段BF和线段CG在空间

6、图形中是重合的故这两线段II1等•把直角三角形OBF向右移动使BF与CG重合则构成直角三角形OH0.又EDOHOBOCAD故AEDOH0即定理成立.推论1沿着管道任一母线剪开得到的平面展开图中管道截面界线的两端分别能组成两个直角三角形且这两个直角三角形的面积相等.由上面的定理1和推论可以得出刚好包扎管道所用带子最短的模型：alSlS2S3bclSlaca222SlS2S3求得一般表达式为：be1c2a2a把题目中给出的数据代入一般表达式求得第一问题的临界长度为：300.510.520.3250.4

7、米0.35.2管道包扎出现接缝处重叠的模型按图1的剪开方法得到管道平曲展开图如图2:图2其中阴影为带子重叠部分.命题1在带子宽度不变的条件下带子相接处重叠的宽度一沱相等即图2中阴影部分的平行四边形的宽度不改变.5.2.1求阴影部分的带了的长度.命题2阴影部分的长度比整条包扎带子的长度短线段AE的长度.证明由推论2阴影部分的宽度相等故可以过图2的A点垂直AE剪切再把剪切的左边部分图形补到右边如下图3:图3由图3可以看出ylAElccos5.2.2利用阴影部分的面积相等得到模型:xyalbcaxc2a

8、x2ylccosc2ax2cosc化简此方程组得:2xac2ax2xlalbc01利用Matlab解方程1得到的结果过繁所以为了得到一个比较简单而又接近实际的答案我们作以下处理：在牛活和工作中为了节省材料包扎管道的带子一般不会比临界长度长太多所以可用c2a2近似代替c2ax2求得结果为：ac2a2bealx22c2a21把第二问题的数据代入方程1得：x10.00357把第二问题的数据代入方程2得:x20.0036由以上计算得到的结果可以看出当带子的长度不太长时用ac2a2bealx