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《数学学年论文毕业论文交子空间基的探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、交子空间基的探讨摘要：本文探讨了交子空间基的求法.一种是通过求齐次线性方程组的一个特殊的基础解系而得，另一种是利用初等变换而得.关键字：交了空间；基础解系；生成元1、引言求交子空间基的问题，主要是求生成子空间的交子空间的基问题，即为求L(s,。2,…，cis)nL(e„B2,…，BJ的基•对此，我们比较熟悉的方法是，先解齐次线性方程组：Xia1+X2a2+…+Xsas+yiBi+y2B2+…yBt=0(1)求出其基础解系Hi二(ki],ki2,・・・kis,1i】，1i2,•••1it)i=1,2,••-r.然后令gi=kiia1+ki
2、2a2ktsasfi=1,2,••-r.再求出J,J,…，J的一个极大线性无关组，即得L(a”a乃…，«s)AL(PbB2,…，BJ的一个基。本文指出可以通过求(1)的一个特殊的基础解系而求得L(at,…，as)nL(Pb匹,…，0J的基，并给出了文(1)的初等变换法在该情况下的推广.2、利用齐次线性方程组的一个特殊的基础解系来确定交子空间基(AB0A命题1设0=旳"的列向量组是(1)的基础解系，111°6%丿rank(Asrl,Btr2)=rt+r,rank(Ctr,Dtr2)=r+r2,(J,…，gJ二(。i,。2,…，s)Bsr，
3、则U…，J是L(a,,a2,•••,aK)AL(Pj,B2,…，BJ的基.证明：设A,B分别是以J,a2,J与B”B2,…，4为列的矩阵，则有rankA=dimL(aa2,…,as),rankB=dimL(PbP2,•••,Pt),rank(A,B)=dim{L(a1,a?,…，—)+L(31,B2,…，Bj},且(1)可写成(AB)=0,其屮％=.,l丫丿/、XY=.yj(1)先证r=dim{L(uHa2,•••,as)AL(PbP2,•••,[3t)},设r】＞0,口＞0,显然，Asri的列向量是齐次线性方程组AX=0的解且线性无关
4、•若Xo是AX=O的解，则AX。二0,因此,(Ab)(xA=axo=o.则X；』：。]是(1)的解，从而可由C的列向量组即⑴的基础Iu丿Iu丿解系线性表示•设x；=c厂，对列向量厂适当分块厂=y2,使Z与c的分块可乘，则srsro5Ds4W…⑵⑶式说明ClrY2^DtrY.=0…(3)UJ是齐次线性方程组(CwD』X二0的解，但该方程组只有零解(I大I为未知量的个数等于系数矩阵的秩)，所以0,则Y2=0,Y3=0.由(2)式得，Xo=AM,即X。可由A狄的列向量组线性表出，则Asrl的列向量组是AX=O的一个基础解系•所以r1=ran
5、kAsrl=s-rankA同理可证：r2=rankDtr2=t-rankBr=[s+t-rank(A,B)]-ri-r2=[s+r-rank(A,B)]-(s-rankA)-(t-rankB)=rankA-rankB-rank(A,B)=dimL(aua2,•••,as)+dimL(PbB2,…,Pt)-dim{L(ana2,…,as)+L(PbP2,•••,Pt)}由维数公式即得:r=dim{L(ana2,•••,as)nL(PbB2,…,Bt)}由上述证明过程知，当r产0或口二0时，该结论显然也成立.(2)再证J,J,…线性无关.若
6、有K=(何k2....kj,使(J,J,・・・©JK二0,由(J,J,•••"=(a1,a幻…,as)Bsr可得(aua2,•••,as)BsrK=0.从而A(BsrK)=0,这说明向量BsrK是AX二0的解•由(1)的证明过程可得，BsrK可由Asrl的列向量组线性表示•设BsrK=A沙K,其中K严因此，AzKlILK二0从而有(A州Bsr)=0,而rank(Asrl,B“)二r+匚1=0则K二0,因此，J,J,…J线性无关<~K)而J,J,・・・g£L(ai,a2,—,as)nL(PbB2,…,Bj是显然的,所以J,J,…J是L(a
7、ua勿…,as)nL(3bB2,…，BJ的一个基,显然当r=0时，其交子空间是零空间.由命题1可以得出求L(g,…，02,…，0J基的一个方法方法1先解方程组(1)求得一个基础解系Ri，H2，，Hr，然后以1，H2，，□为列初等变换化G为命题1中C的形式，则C的列向量组也是(1)的一个基础解系.令(EI£25)=(aI,a2,…，as)Bsr,则即为L(j,s,…，as)nL(Pb亿，…，BJ的基.设at=(1210),a2=(-1111),Bi=(2-101),&2=(2-137)求L(a,,a2)QL(B“B2)的基.解：解线性方程
8、组Xiai+x2a2+yiPi+y2Pi=0即得X]-x2+2『]+2y2=02xl+x2-yi-y2=0求得基础解系为八=(i兀］+兀2+3儿=°x2+y,+7y2=0-4-3G已为命题1中C的形式(其中
