数形结合思想在中学数学中的运用

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1、数形结合思想在中学数学中的运用数与形是数学中的两个最基木的研究对象，数是数屋关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，乂常借助于图形间隐含的数量关系去求解，它们Z间存在着密切的联系，在一定条件下可以相互转化，这种联系称Z为数形结合。数形结合的思想渗透在中学数学中，是一种帮助学生理解数学、学好数学的重要思想方法。在教学中应注重培养学生将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答的数学思想。我将通过以卜•具体的例题阐

2、述数形结合思想在中学数学中的运用。一、数轴数轴是一种特定的几何图形，它用一条直线将实数紧紧的联系在一起，同时乂将相反数与绝对值直观的呈现在我们的眼前，它是中学数学中数形结合的起点。例1:实数°、b、C在数轴上的位置如图所示，•••••・ba0c1化简+-6Z-ej-

3、l-C=利用数轴的直观性，结合实数绝对值的几何意义，结果易得，体现数形结合在解题中的直观与简明。此外不等式的解集也很好地反映了数形结合思想。例2：求不等式兀+9>7的非正整数解。利用数轴将不等式的解集x>_2在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看

4、到沦_2的数有无限多个，但满足条件的非正整数只有_2、-1、0三个，说明数形结合更能深刻地反映不等式解集的儿何意义。二、平面直角坐标系平面直角坐标在二维空间内将数对与平面图形巧妙结合在一起，是初中数学中数形结合思想完美呈现的载体。“函数及其图象”是初中数学的一个重要内容，同时也是一个难点内容，有关函数的问题让许多学生感到畏惧。其实函数与方程、不等式Z间有着非常密切的联系，在解题时要善于将它们融会贯通，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，往往会使很多棘手问题迎刃而解，R解法简捷、独特。例3、二元一次方程组的解

5、的意义：关于兀,y的二元一次方程组的解有三种情况:。］兀+勺）丿+q=0a2x+b2y+c2=0①无解；②无数组解；③只有一组解。分析：这三种情况可以转化为两条直线y=—鱼兀和y=—£1兀—£1的三b}b{h2h?种位置关系：①平行；②重合；③相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当4:①詁也0时，两条直线的斜率相同,y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。当cjd厂勺也二q：c、2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当⑷：①北

6、勺：仇时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。例①J2x+＞，+3=0,方程组无解。两条直线2兀+y+3=0、4兀+2y+l=0的4x+2y+l=0位置关系如图：平行。②

7、x+2y-0=（），方程组只有一个解。两条直线2兀+丁+1=0、x+2“0的位置关系如图：相交。①方程组有无数个解。两条直线2x+4y=0、x+2y=0的位置关系如图：重合。(2)例4、如图，反比例函数y=-的图像与一次函数y=d+b的图像交于M(2,2),N(—l,m)两点，根据图像写出不等式ax+b>

8、-的解集。▲,兀y“/分析：此题是在给岀两个函数的基础上，比较/函数值大小的问题，由于反比例函数图像的不连续性，如果通过直接的计算会比较麻烦，借助于两函°!数交点的特征，不难画出如图人致图像，不等式ax^b>-的解集在图像中表示为一次函数图像在反/比例函数图像上方时对应的口变量X的取值范圉。显然，-KxV)或兀>2。此解法利用函数图象的直观性,把抽象的数学语言与直观的图形结合起來，化难为易,充分体现了数形结合解题的有效性。三、数形结合思想与面积问题例5：已知：如图，三个正方形依次放置，边长由小到大分别为2

9、、3、5,则图中阴影部分的面枳为多少?▲分析：这是一道典型的利用图形特征发现隐含的函数关系，建立直角坐标系求解图形面积的问题。一般利用三角形相似的方法可以求出阴彩部分梯形的面积，那么在学习相似Z前，是否有其它求法？不难发现三个正方形的一边在同一直线上，以小正方形的两边构造直角坐标系，把截三个正方形的宜线可以看作一次函数的图像，月•经过(10,5)点，解析式为丁=丄八可求出与第二个正方形2的交点分别为(2,1),(5,2.5),因此阴影部分梯形的上底为0.5,下底为2,高为3,易求面积为3.75o例“求*存存扫

10、令的值，结果用〃表示。分析：这是一个等比数列的求值问题，除了利用求和公式，其实利用图形面积的方法，可以准确快速的给出答案。如图：设正方形的边长为1,取面积的一半即为丄，依次取余下的一半，第斤次Z后发现剩下部分的面积为丄，所以22"；+；+；+2+……加此题从特殊的数列求值问题，发现其屮隐含的图形血积问题。1112***121221••-四、数形结合思想与应用题例&已知关于兀y的二元一次方程3x+4y