浅谈逻辑类比在数学中的应用

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1、哈余凑师恋大学数学送辑学论丈浅谈逻辑类比在数学中的应用李双全指导教师鲍曼教授2009级数学与应用数学数学系数学科学学院哈余滨师范丸学2012年6月论文提要在逻辑学中，根据两个或两类事物在某些属性上相同，从而推出它们在别一•些属性上也相同，这种推理方法叫做类比推理。类比推理的思维过程，不同于演绎推理、归纳推理，它既不是从一般到个别，也不是从个别到一般，而是从个别到个别，从特殊到特殊。所得的结论只具有或然性。浅谈逻辑类比在数学中的应用李双全（黑龙江省哈尔滨150025）摘要：类比推理已经成为初高中数学中越來越热门的考点，既

2、考查学生的研究能力,同时也考察学生的发散思维和逻辑推理能力。对于一些疑难问题的解决启着事半功倍的作用。本文通过一些貝体例题來体现类比推理的应用。关键词：类比类比思想推理过程Abstract:analogyreasoninghasbecomemoreandmorepopularinhighschoolmathematicsexamination,notonlyexaminethestudentsresearchability,butalsotoexaminestudents'divergentthinkingandlog

3、icalreasoningability.Forsomedifficultproblemstosolveamultipliereffect.Inthispaper,throughsomespecificexamplestoshowtheapplicationofanalogicalreasoningKeywords:analogyanalogyreasoningprocess一类比推理定义：类比推理就是根据两个（或而类）对象都具有（或都不具有）某些属性，而且已知其屮一个（或一类）还具有（或不具有）另一属性，由此退职另一

4、个（或另一类）对象也具有（或也不具有）这一属性的推理。类比的推理的推理形式是：A具有的性质耳迅…代,P;B具有的性质片,…代；B具有性质P类比的对象，可以使两个个体，可以是两个类，也可以是一类对象与另一类对象中的个体，但绝不能是一类对象与本类中的某个个体。二类比推理的种类及推理步骤种类：1•止类比：所谓止类比是根据两个（或两类）对象都具有某些属性,从•而推出二者也同时具有另一属性的类比推理。2•反类比：所谓反类比指的是根据两个（或两类）对象都不具有某些属性，从而推出二者也都不具有另一属性的类比推理。类比推理的一般步骤:

5、①找岀两类事物之间的相似性或一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到一个明确的命题（猜想）.三类比推理方法在高中数学解题中的应用下面将通过儿个具体案例来说明类比推理方法在数学解题屮的应用.平面与空间的类比平面图形与空间几何体之间的类比关系如下平面图形空间几何体占八、、线线（线段氏度）面（面积）面（封闭图形）（面积）体（儿何体）（体积）示彳列由平面儿何中的圆内接三角形的面积为最大；圆内接四边形以正方形面积为最大为基准，能否通过类比推理方法提出一系列的立体儿何中的相关问题或结论？分析圆与球在它们的生成，形状，

6、定义等方面都具有相似的属性，因此我们将球作为圆的类比对象，同理，我们将正四面体和正方体分别作为正三角形和正方形的类比对彖，可以得到如下结论：（1）在球的内接四面休中，以内接正四面休的休积最大.（2）在球的内接长方体中，以内接止方体的体积最大.同时还有（3）在圆柱的内接三棱柱中以内接正三棱柱体积最大.当然述可以类推出更多的相关命题，此类解决问题的过程是让学生H主解决问题的过程，更是让学生学会科学的看待问题，掌握方法的过程，有助于培养学生的思维水平和解决问题的能力.下面止我用几道例题更好的展示逻辑类比推理的具体应用。【例7

7、1在平面儿何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立休儿何屮有什么结论呢？解析“正三角形”类比到空间“正四而体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个而的距离之和”，于是猜想的结论为：正四而体内任一点到其各而距离之和为定值。如图1,设边长为。的正三角形ABC内任一点AP到其三边的距离分別为£、〃2、将A13C分割成三个小三角形AAPB,A5PC,AAPC,则有評+〃2+心）汀沁即距离Z和为正三形的高（定值）。A-BCD内任一点P到四个而的距离分别为C所以d]+〃2+=h为定值。类似地，如

8、图2,设棱长为a的正四面体【例2】在ADEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF-EFcosZDFE.M至ij空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A^C,的3个侧面面积为其屮两个侧面所成二而角Z间的关系式，并予以证明。【分析】根据类比猜想得出SL.cc=S爲片+S；g-2Sa则.・Sbcc吕cos。其中&为侧面