高中数学第二章平面向量24平面向量的数量积241平面向量数量积的物理背景及其含义同

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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若〜、e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是（）A.ei•&2二1B.ei•e2=-lC.ei•e2=±1D.Iei•e2I<1解析：两个平行的单位向量，当它们的方向相同时，数量积为1,当它们的方向相反时，数量积为T.答案：C2.判断正误，并简要说明理由.①a・0=0；②0•a二0；③0-AB=BA；④

2、a*bl=

3、alIbl；⑤若aHO,则对任一非零向量b有a・bHO；⑥a・b=0,则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.解：上述7个命题中只有③

4、⑦正确：对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0・a二0；对于②：应有0・a二0；对于④：由数量积定义有Ia•b

5、=

6、a

7、

8、b

9、•

10、cos9

11、

12、a

13、

14、b

15、,这里9是a与b的夹角,只有0=0或0二兀时,才有

16、a•b

17、=

18、a

19、

20、b

21、；对于⑤：若非零向量a、b垂直，则有a・b二0；对于⑥：由a•b二0可知a丄b,可以都非零.3.已知IaI=3,Ib

22、二6,当：①a〃b;②a丄b;③a与b的夹角为60°时，分别求a•b.解：①当a〃b时，若a与b同向，则它们的夹角0二0°,Aa•b=

23、a

24、

25、b

26、cosO°=3X6X1=18；若a与b反向，则它们的夹角6=180°,/.

27、a•b=

28、a

29、Ib

30、cos180°=3X6X（T）二一18.②当alb时，它们的夹角0=90。，.'.a•b=0.③当a与b的夹角是60°时，有3・b=

31、a

32、

33、b

34、cos60°=3X6X-=9.24.已知丨aI=10,IbI=12,a与b的夹角为120°,求a・b.解：由定义,a•b=

35、a

36、

37、b

38、cos0=10X12Xcos120°=-60.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.（2006高考四川卷,理7）如图2-4-1,已知正六边形P&2P3PRP6,下列向量的数量积中最大的是（）图2-4-1A.P、P?,PRB.PXP2,PlP4C.PlP2,P}P5D

39、.P}P2,PR解析：在正六边形中pP』的长度设为1,则

40、PiP3

41、=a/3,

42、PiPd=2,

43、P,P5

44、=V3,

45、PiP6

46、=1.由数暈积的计算公式，得PXP2•P]P3=1XV3cos30°P{P2•用马=1X2cos60°=1,=1X2cos90°=0,=1X1cos120°=一一，・・・耳可•丽为最大.答案：A1.（2006高考福建卷，理11）已知I刃I二1,I亦I二羽,OA・亦二0,点C在ZAOB内,且ZA0C二30°.设OC=uOA+nOB（m,neR）,则巴等于（）nIFy_A.—B.3C.D.y/333解析：设OC的模长为a,则由向量加法的几何

47、意义得f(2COs30o=m,m厂两式相除得一=3・[(7sin30°=a/3m.斤答案：B2.给出下列命题：①在AABC中，若乔・BC<0,则ZABC是锐角三角形；②在ZxABC中，若亦・BC>0,则AABC是钝角三角形；③AABC是直角三角形oAB・BC=0；④AABC是斜三角形的必要不充分条件是乔・BC^O.其中，正确命题的序号是•解析：利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角.①-AB・BC<0,:.BA・BC=-AB・BC>0,AZB是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.所以推不出AABC是锐角三角形.故命题①是假命题.②•

48、:AB・BC>0,:.BA・BC=-AB・BC<0.ZA是钝角，因而ZABC是钝角三角形.故命题②是真命题.①AABC是直角三角形，则直角可以是ZA,也可以是ZB,ZC.而AB・BC=0仅能保证ZB是直角.故命题③是假命题.①一方面，当AABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故乔・BC^O；另一方面,由AB・BCH0只能得出ZB不是直角，但ZA或ZC中可能有一个直角.故命题④是真命题.答案：②④1.若向量a,b,c满足a+b+c=O,且丨aI=3,IbI=1,IcI=4,则a•b+b•c+a•c=.解法一：Va+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b3+c

49、2+2a•b+2b•c+2a•c二0,2(a•b+b・c+a•c)=-(a2+b2+c2)=-(

50、a12+1b12+1c

51、2)=-(32+l2+42)=-26.•Ia•b+b・c+a•c二一13.解法二：根据已知条件可知

52、c

53、=

54、a

55、+

56、b

57、,c二-a-b,所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a•b+b・c+a・c二3cos0°+4cosl80°+12cosl80°二3-4一12二一13.答案：T32.已知a,b是两个非零向量，同时满足Ia

58、=Ib

59、=Ia-bI,求a与a+b的夹角.解法一：根据

60、a

61、=

62、b

63、,有

64、a

65、2=

66、b

67、2,又由Ib

68、=

69、a-b

70、,得

71、

72、b12=

73、a12-2a•