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1、第五章层次分析建模方法层次分析法是美国著名的运筹学专家匹兹堡大学教授T.L.Saaty于70年代提出的一种以定性与定量相结合，系统化、层次化分析问题的方法，称为层次分析法(AnalyticHiearchyProcess,简写为AHP),其原理较为简单，但有较严格的数学依据，广泛应用于复杂系统的分析与决策。它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复朵问题。如生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略作出最佳决策，研究单位合理地选择科研课题，影视评比专家评价影视作品的水平，学牛的综合评价等。本章主耍介绍层次分析法的基本原理和应川实例。§5.1
2、层次分析法的基木原理根据人们的思维规律，面对复杂问题，人们往往是将问题分解成各个组成因素，又将这些因索按支配关系分纽成阶梯层次结构，通过比较的方式确定层次屮各个因素的相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总的排序，从而做出选择和判断。这一思维过程的关键是层次的划分，权璽的确定和合并规则。首先将讨论的问题所包含的因素分为最高层、屮间层、最低层。最高层表示解决问题的目的，乂称总目标层，中间层表示实现总目标而采取的措施、方案、政策，-般分有约束层、策略层、准则层，最低层是川于解决问题的各种措施、方案等。当某个层次包含的因索较
3、多时，可将该层再划分为若干了层，从而建立层次结构。层次结构模型的一般形式见图5.Io图5.1层次结构图为了达到总冃标，需要对方案pl,p2,p3,p4,p5进行排序，确定戢佳方案。如果已知准则fl,f2,f3在选择屮所占的权重为①w(0,1)(心1,2,3),$>,=1；一几已知每条准则注15对每个可供选择的权重bi}e(0,1)(/=1,2,3；7=1,2,3,4,5),工给=1。令>=13Xj=工cig(j=123,4,5)(5.1)若=max{.S-},则选择以就是最佳方案。然而对于大多数的问题而言，特别是比较复杂的问题，因素的权重
4、是不容易直接获得的，这就需婆通过适当的方法导出它们的权重。设某层有〃个因素才={mg…，心}要求它们对上一层A的影响或权重，下面介绍一种求权重的方法。定义1取两个因素心和勺・，用叫表示比和勺对上一层A的影响Z比。全部比较结果用矩阵匸（叫）如表示，则W称为成对比较的判断矩阵，权重叫按下表标度取值：表5-11—9标度的含义标度含义wij=1表示两个因素“与厂相比，对上一层A的影响具有同样的重耍性（相等）wiJ=3表示两个因索£与厂相比，对上一层A的影响程度略人（较强）叫=5表示两个因索门与厂相比，对上一层A的影响程度大（强）wu=7表示两个因
5、素旺与厂相比，对上一层A的影响程度大很多（很强）叫=9表示两个因索门与厂相比，对上一层A的影响程度极端的大（绝对强）vv/y=2,4,6,表示两个因素心与厂相比，对上一层A的影响程度介乎上血两者之间，8则叫的取值为2,4,6,8如果因素，与如果因素丿•的重要性之比为叫，那末因素丿•与因素，重要性之比为:%•=—（z,；=1,2,•••,«）（5.2）定义2若矩阵於=（叫•）”“满足①出>0,（i,J=l,2,…/）,②W..=—（心=1,2,…/）则称％为逆对称矩阵（或称正互反矩阵）。显然，成对比鮫矩阵是逆对称矩阵。(5.3)定义3如果逆
6、对称矩阵倂满足：叫•wjt=wik(i,j,k=,2,…，小则称矩阵〃为一致矩阵。-•致矩阵有下列性质：①倂的每一行均为任意指定行的正倍数，从而秩（W）=1；②/的最人特征根血=n,其余的特征根皆为0；③若兄唤对应的特征向量&=（山卫2,…4）'，贝山(5.4)=—,(心=1,2,•••,〃)aj对于〃阶逆对称矩阵伊=（叫）计，它是一致矩阵的充分必要条件是人疵=%但是对于复杂事物采用两两比较的方法获得的成対比较矩阵，不可能做到判断的完全一致性，而存在佔计误差。这必然导致所得出的成对比较矩阵W不是完全一致矩阵，它的最人特征根总比刀人，从而
7、特征向蜃也有偏差。这偏差是由于判断不相容引起的，因此我们需要检验它的不一•致程度，令2—fl67=亠_（5.5）n-称67为一致性指标。其值越小，偏离一致的程度就越小，即越接近一致。当0=0时，就是一致的情形，一般地用比值（一致性比率）CJCR=—（5.6）R1來判断成対比较矩阵在一致性方面是否可以接受，当CR51时，认为成対比较的逆对称矩阵可以接受。此时就可以用规一化的特征向量作为权向量。（5.6）式中的RI是随机一致性扌旨标，其值为：表5-2一致性指标n1234567891011R1000.50.91.11.21.31.41.41.
8、41.5802421591进一步，我们还耍进行层次总排序及其一•致性检验。在上述过程中所求出2唤的所对应的特征向量是同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值，这种排序称为层
