中考数学复习指导：发现“隐形”圆巧求最小值

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1、发现“隐形”巧求最小值在近几年的中考数学试题中，常有一些涉及到求线段最小值的问题•这些题目入手较难,得分率很低，分析其原因不难发现，学牛对题目中运动变化的本质没有搞清楚.在这些蕴含运动变化的问题中，并没有显性的圆，但是仔细分析题冃的条件，如果能发现某个点的运动路径是一个圆（或是一段弧），可谓是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，将会对问题的解决起着重要的作用.下而举例说明.一、翻折中的“隐形”圆例1如图1,在RtABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC上的动点，将4CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.解如图2,当点

2、E在BC上运动时，PF的长固定不变，即=CF=2.所以点P在以点F为圆心，以2为半径的圆上运动.过点尸作阳丄AB交OF于点P,垂足为H,FHFA此时PH最短.rhAAFH:AABC,得——=——•又由己知易得==•所以BCAB—=—,即FH=—.^以P到AB距离的最小值PH=FH-FP=—-2=~.810555点评本题关键的地方在于抓住无论点E的位置在哪，翻折AFCE,PF的长度始终等于FC的长度，即PF=2.也就是说动点P到定点F的距离是定值2,所以点F的运动路径是以点F为圆心，2为半径的圆（或部分）.如此，这个问题就最终转化为在圆上找一个到定直线距离最短的点.我们可以利用图3的模型1来作出

3、直观解释.图3模型1如图3,直线加与O0相离，过D点O作直线加的垂线，垂足为点H,交。O与点P、点Q,则OO上点P到直线加的距离最短，点Q到直线加的距离最长理由简述在OO上任意找一点P,过F作P'H'丄直线加，垂足为点由三角形三边关系及直角三角形斜边大于直角边可得：OP+PH'>OH'>OH,而OH=OP+PH,OP'=OP,所以P'H‘>PH,所以点P到直线加的距离最短.类似的方法可以说明点P到直线加的距离最长.例2如图4,在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60°,M对是AD边的中点，W是DMB边上一动点.将AAMN沿M/V所在的直线翻折得到AA'MN,连结“C,则"C长度的最小值是.图4解

4、当点7V在AB边上运动时，W的长度固定不变，即=MA=lf所以点K在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，如图5,连接CM,与交于点此时C4‘最短.过点C作CG丄AD交AD的延长线于点G.因为CD=2,ZCDG=ZA=60。，所以DG=1,CG=V3,在RtACMG中，由勾股定理，得CM=昶+（⑶=苗.点评同例1,无论7V点在何处，沿翻折后，线段MAf的长&（MAf=MA=l）保持不变，而且点M是定点，所以点4’的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的圆（部分）.要求才C的最小值，回归到模型1中，连结圆外定点C与圆心M与圆M交于点彳，此时"C的长度即为最小值.我们可以借助图6利用模型2来作出直观解释.模

5、型2如图6,点P为OO外一定点，连结PO交OO于点A,延长线与OO交于另一点B,则PA的长度为OO外一点P到OO的最短距离，PB的长度为。O外一点P到OO的最长距离.图6理由简述在OO上再任意找一点A'，连接PA',由三角形三边关系，可得OA'+FK>OP.又OP=OA+AP,OA=OA所以PA!>PA•类似的方法可以说明PB的长度为OO外一点P到OO的最长距离.例3如图7,菱形ABCD的边AB=&ZB=60°,P是43上一点，BP=3,Q是CQ边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为从当解如图8,过C作CE丄AB,连结AC.因为ABCD是菱形，ZB=60°,所以AABCQ为等

6、边三角形，所以AE=EB=—=4,BP=3,EP=.要使CA'的长度最小，则梯形APQD沿直线P0折叠后A的对应点4应落在CP上，II对称轴P0应满足PQIIDE.由作图知，DEPQ为平行四边形，所以DQ=EP=l,CQ=CD-DQ=8-l=l・点评点Q在线段CD上无论运动到何处，梯形APQD沿直线PQ折叠后FA'的长度始终保持不变，因此4点的运动路径就是以点P为圆心，PA长为半径的圆.借助模型2,可知，当点4落在线段CP与OP的交点时,CAf的长度最小.由PQ平分ZAPC.CD//ABf可得CQ=CPCE丄,构造RtCEP,从而可以求!1!CP的长.二、直角中的“隐形”圆例4如图9,在正

7、方形ABCD+,动点分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在直线DC,CB上移动.连结AE和DF交于点P,由于点E,F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2t试求出线段CP的最小值.解由题意，可得DE=CF.又因为AD=CD,ZADC=ZDCB=90°,所以ADE=DCF,所以ZDAE=ZCDF・因为ZADP+ZCDF=90°,所以ZDAE-^-ZADP=90°,由