浅谈变力做功

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1、浅谈变力做功范慧鹏在物理学中，功和能是十分重要的一部分。那么，对于求解力对物体做功的问题就显得相当重要。而功的定义W^FScos0仅适合与恒力做功的情况，对于变力做功又是如何解决的呢？下面便是求解变力做功的几种常用方法。一.用定积分的方法。例1・如图（一）示，一根轻绳跨过定滑轮系在质量为ni的物体上，物体最初静止在光滑的水平面上。用一大小为F,方向竖直向下的恒力作用在绳的另一端，使物体向右做加速运动，当系在物体上的绳与水平方向的夹角由8i变到◎2时,力对物体做的功是多少？已知滑轮顶点与水平面之间的距离为h（滑轮的大小及滑轮处的摩擦均忽略不计）。解：取物体为

2、研究对象，它受三个力的作用：重力G、拉力F、支持力N,如图（二）:取水平向左为x轴正方向，正下方平面上的一点o为坐标原点，滑轮距平面的距离为h,因此，当物体在某时刻处于位置x时，绳作用在物体上的拉力F在物体位移方向上的分量为：-Fx=Fcos9=/•丁川+/式屮e为物体在位置x时绳与水平面之间的夹角。可见，Fx是随X而变化的变力。所以，绳的拉力F对物体所做的功是变力做的功，可用积分的方法进行计算。由于位移方向沿X轴负方向，因此，dr=-dx，拉力做的功为：XIW=(F-drFcos0-f2-Fxdx-FfXdx1卩V/?2+X2F^h2+x}2-^h2+x

3、22)1由三角关系得:娥02sin。?）但是，用定积分的方法求解起来太麻烦，除非在万不得已的情况下方使用。下面3是其它的几种方法。一.变力做功等效为恒力做功。例2.如上题解：因为在物体运动的过程中，拉力对物体而言是变力，可人对绳子施加的力却是恒力，且绳子质担:、滑轮质量及燦擦均不计，故.人拉绳所做的功就等于绳子拉力对物体所做的功。这样，就将变力做功的问题转化成了恒力做功的问题。在拉力从与水平方向成（儿夹角到（）2夹角的过程中，右端绳子下移的距离为：Ah=hsin0]sin02IV=F-Ah=Fh(——)则功为：sin0ism〃2rfl此可见，对于木题用此种

4、方法比用前面所介绍的定积分的方法简单得多。二.用动能定理來求解。例3.如图（三）示，在高为h的光滑水平而上，静止放一质量为in的物体，地面上的人用跨过定滑轮的细绳拉物体，在人从平台边缘正下方处以速度v匀速向右行进s距离的过程屮，人对物体所做的功为多少？（设对人的拉力F及地面给人的静摩擦力f。因为人在行走中是匀速的，故人所受的合力处处为0,所以，绳子对人的拉力F不但方向处处在改变，而且大小也在处处改变，则人拉绳了的力也在处处改变。那么人对物体所做的功又成了变力做功的问题。对物体而言，受3个力的作用：重力6、支持力N、绳子对物体的拉力F（即人对物体的拉力），但

5、G和N】均不做功，仅有F对物体做功，因此，只要把物体的初、末状态的动能求出，即可根据动能定理求出拉力所做的功了。・・・vlO,巾与人运动过程中沿绳子方向的速度分量的大小一样，如图（四），v2=UCOS&=V.=则ylh2+s2mv2s22212h2+s22(/,+$2)・・・人对物休做的功为：一.用功能原理求解。例4.一质量为ni的小球，用长为L的轻绳悬挂于0点，小球在水平拉力的作用下从平衡位置缓慢地移到Q点，如图（五）示，则力F对小求做的功是多少？解：小球受到三个力的作用：重力G、人对小球的拉力F、绳对小球的拉力T。如图（五）:因为小球是很缓慢地移动，所

6、以，所受合力处处为0,由于8角不断在变化，故F及T为变力。可小球在运动过程中绳子拉力T与运动方向处处垂直不做功，所以，对小球而言，除重力G外就只有拉力F对其做功了，应用功能原理，取P点为小球的零势能点，则WF=mghQ一mghp=mgL(l-cos0)一.借助于来求功。例5・一人从10米深的井屮，用一个质量为1千克的桶盛10千克的水匀速上提，由于水桶不断漏水，每生高1米漏掉0.2T克的水，则把这桶水提上来要做多少功？（g取10米/秒X解：我们用纵、横坐标分别代表向上如图（六）示，水桶开始离开水面即s二0牛，故开始在点A（0,110）o因为每生高10米即s二

7、10米时，漏掉2千克的水,此时手的拉力为（11-2）X10=90牛,即结束点B（10,90）o依题，因每生高1米漏掉0.2T克的水，则拉力减小2牛，故k=AF/As=-0.2牛/米为一恒量，此k值就是连接A、B两点的线段的斜率，则线段4B卜•面的阴影部分的“面积”就是把水桶从水面匀速提到井口的过程中人对水桶所做的功。即2Xi。焦耳=1°°焦耳对于理想气体而言，求解做功的问题，利用P—V图屮曲线与V轴所围成的“面积”來定性地讨论做功问题更是方便。AB例6.一定质量的理想气体从状态A竽旧"亦D士宀人2工口屮，气休对外做功是多少？卩/（图七）VB解：气休谁对谁做

8、功的问题，可从气屯气体（系统）对外做功，体积减小属外对即为从A点及