小波变换分析报告

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1、小波变换的理论基础及应用专业班级电气工程学院姓名学号任课教师日期目录一、小波分析的发展历史和前景1二、小波变换的理论基础22.1连续小波变换22.2离散小波变换32.3二进小波变换42.4多分辨分析与二尺度方程42.4.1多分辨分析52.4.2二尺度方程62.5MALLAT算法62.5.1Mallat算法的综述72.5.2Mallat分解算法72.5.3Mallat合成算法82.6小波基和小波函数的选取92.6.1小波基选择的标准92.6.2小波基选择的五耍素9三、小波变换的应用103.1图像、信号压缩103.2小波降噪103.3小波在信号处理中的应用113.4小波变换在故障诊断中的应用

2、113.5小波变换在边界检测中的应用113.6小波变换的结合应用——小波网络等12参考文献12小波变换的理论基础及应用一、小波分析的发展历史和前景1984年，法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部特性吋首次采用了小波变换。随后，理论物理学家Grossman对Morlet的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。由于其在时频两域都具有表征信号局部特征的能力和多分辨率分析的特点，因此被誉为“数学显微镜”。小波变换的基本思想是将原始信号通过伸缩和平移后,分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信号，这些子带信号具有

3、良好的时域、频域等局部特征。这些特征可用来表示原始信号的局部特征，进而实现对信号时间、频率的局部化分析，从而克服了傅里叶分析在处理非平稳信号和复杂图像时所存在的局限性。随着小波理论的日趋成熟，人们对小波变换的实际应用越来越重视，它已广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、模式识别、机器视觉、机械故障诊断与监控以及数字电视等科技领域。最近几年,一些学者将小波变换与人工智能及其它理论相结合进行研究，并H已经取得了重要的成果。小波分析是科学家，工程师和数学家们共同创造的，反映了大科学时代学科Z间的综合、渗透的优势。小波理论来

4、自Fourier分析，思想也来源于Fourier分析，它不能完全取代Fourier分析，它是Fourier分析的新发展。小波理论与Foxier分析的互补优势和相辅相成的良好效果已被科研实践所证实。小波分析的发展一方面需要从理论上提高和丰富，尤其是三维和三维以上的小波理论（因为它们还很不成熟）；另一方面，需要在应用屮提出更多的研究课题，使小波应用的深度和广度得到进一步拓展。由于小波理论处理问题特殊技巧和特殊效果，小波分析不仅为纯粹数学和应用数学提供了强有力的工具，而口是多媒体、信息高速公路某些核心技术的理论保证。二、小波变换的理论基础2J连续小波变换人人人定义1设T（r）eL2（7?）,其

5、傅里叶变换为屮（w）,当屮（w）满足容许条件（完全重构条件）：(1)时，则称屮⑴为一个基小波或母小波。将母函数屮⑴经仲缩和平移后得到:a,bER,a丰0(2)称为一个小波序列，其中④为伸缩因子，b为平移因子。对丁•任意的函数/（r）e芒（R）的连续小波变换为:旳（以）=〈〃）,氏』））=4”•⑴屮Cl■b、IQ丿dt(3)其重构公式为：1祥气1(4)口）=石JJ飞W"劝屮"⑴必勿°屮（）（）a由于基小波屮⑴牛成的小波屮“⑴在小波变换中对小波分析的信号起着观测窗的作用，所以屮⑴还应该满足i般函数的约束条件：匚I屮⑴0<8（5）人因此屮（W）是一个连续函数。所以，式（1）所要满足的完全重构条

6、件是：当3A时，屮（w）二0。零频处的零值同时也说明了小波在时域的均值为零:(6)—为了使信号重构的实现在数值上使稳定的，述要求小波函数屮(!)的傅里叶变换

7、0是基本小波的能量，则屮加)的能量为(8)2.2离散小波变换在实际应用屮，尤其是在计算机上实现，连续小波必须加以离散化。因此,有必要讨论一下连续小波屮和连续小波变换Wf(a9b)的离散化。需要指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数“和连续平移参数b的，而不是针对吋间变量t的，这一点与以前习惯的吋间离散化不同。在

8、连续小波屮，考虑函数1t-h必〃(。=-/=鸭()这里，,0是容许的。为方便,在离散化中，61总限制a只取止值，这样相容性条件就变为：(9)通常把连续小波变换屮尺度参数a和连续平移参数b的离散化公式分别取作为a=a^b=ka^,这里jwZ。扩展步长为q工1是固定值，为方便起见，总是假设。°>1,则所对应的离散小波函数为：匕,卫)=处"*('_肋(血)=讣叭叩-kb)ao离散化小波变换系数则可表示为:(10)+84»00[=J]jWf