夏兴国数学竞赛讲义

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1、2011暑假平而儿何问题“这道题的解答是什么？”“这道题的解答为什么是正确的？”并不重要；重要的是：“在没有解答的时候，怎样做才能发现解答？”“在没有路的时候，怎样走才能踏出一条通向成功的路来？”夏兴国（梅涅劳斯定理）1.设X、Y.Z分别是UABC的三边BC、C4、A3所在的直线上的点，并且X、Y.Z三点中，位于UABC边上的点的个数为0或2,则X、Y.Z三点共线的充要条件是BXCYAZ,=1OXCYAZB（塞瓦定理）2.设X、Y.Z分别是UABC的三边BC、C4、A3所在的直线上的点，并且X、Y.Z三点中，位于[]ABC边上的点的个数为1或3,则AX、BY.CZ三线共点的

2、充要条件rlBXCYAZ

3、XCYAZB（托勒密定理）3.在四边形ABCD中，ABCD+ADBC>ACBD，并且仅当四边形ABCD内接于圆时，等号成立。（西姆松定理）4.若从QABC外一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F,则点P^.UABC的外接圆上的充要条件是D、£、F三点共线。（圆幕）定义：过点M作一条直线与圆O交于P、Q两点，那么，丽•旋叫做M关于圆O的幕。5.M关于圆O的幕=—厂S其中厂是圆O的半径。（根轴）定义：对于两个不同心的圆q、q的幕相等的点的集合，叫做圆q、o?的根轴。6.对于两个不同心的圆它们的根轴是-条直线。当圆Q、。2相交吋，它们的根轴

4、是它们的两个交点的连线。当圆q、o?相切时，它们的根轴是它们的两个的公切线。7.若圆q与圆O?交于人、B两点，圆。2与圆。3交于C、D两点，圆q与圆O3交于E、F两点，则直线AB、CD、EF两两平行或三线共点。1.OK丄MN的充要条件是MK2-NK2=MO2-NO2.2.过口ABC的三个顶点A、B、C,作口ABC的外接圆的切线，分别和QABC的三边BC、CA、AB所在的直线交于P、Q、R,求证：P、Q、R三点共线。3.从锐角UABC的外心O,向它的边BC、CA、AB所在的直线作垂线，垂足分别为D、E、F,设JABC的外接圆和内切圆的半径分别为/?、r,求证：OD+OE十OF

5、=R+r.4.在DABC中，AC>BC,F是4B的屮点，过F作它的外接圆的直径DE,使C、E在AB的同一侧，又过C作AB的平行线交DE于厶，求证：（AC+BC）2=4DDEF.5.在QABC中，ZC=90°,AC

6、，设AB>AC,过点A作DABC的外接圆的切线Z,又以点A为圆心、AC为半径作圆，分别交线段43于点Q,交直线/于点、E、F.证明：直线DE、DF分别通过3ABC的内心和一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）三、以和q为焦点的椭圆与△4垃冋的边AB,交于C,仁=0,1）.在人垃的延长线上任取点代，以B。为圆心，B止为半径作圆弧AQ）交©垃的延长线于Q）；以G为圆心，CQ）为半径作圆弧交冋人的延长线于£；以冋为圆心，B占为半径作圆弧甲Q交EC。的延长线于Q；以C。为圆心，C°Q为半径作圆弧亦,交AB（）的延长线于圧

7、•试证：（1）点耳与点几重合，且圆弧EQ与卑）Q相内切于弘⑵四点K）,Q）,Q&共圆.四、如图，在锐角aABC屮，AB

8、UQCB的内心分别为厶、厶，则0、厶、厶、T四点共圆。六、如图，锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上的一点（不是BC边的中点），D是线段AK延长线上的一点，直线BD与AC交于点N,直线CD与交于点M,求证:若OKLMN,则4、B、D、C四点共圆。七•在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点：在边BC上选収点心；在边CA上选取点妨、B2；在边AB±选取点C「C2；使得凸六边形AAfi.s.c.G的边长都相等。证明：直线佔、BQ、C‘2共点。八.给定凸四边形ABCD,BC=AD,且BC不平行于4D.设点£和F分别在