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1、A组一、【数学归纳法】1.（2011年徐州调研）用数学归纳法证明：1?+2?+33+…证明：①当〃=1时，左边=1,右边=1,.=1时，等式成立.②假设n=k时，等式成立，即P+2?+33+-+A：3=
2、z：2伙+1冗当n=k+时，卩+2'+3"+・・・+疋+伙+lf=土/伙+1尸+伙+l)3=*k+l)2[Q+4伙+1)]=扌伙+1）亍伙+1）+1]2,.=k+l时，等式也成立.综合①②原等式成立.2.首项为正数的数列｛如满足冷+i=*怎+3）,用N〔（1）证明：若e为奇数，则对一切心2,心都是奇数；（2）若对一切
3、/?eN*都有给+1>禺，求⑷的取值范圉.解：（1）证明：已知⑦是奇数，假设ak=2m-1是奇数，其中加为正整数，则由递推关2I系得以+1=“4=加（加_1）+1是奇数.根据数学归纳法，对任意/?eN：禺都是奇数.（2）由aH+[—an=^at—1）（禺一3）知，当且仅当an<1或a/t>3时,a„+1>an.、1+33~+3另一方面，若0<^<1,则0<以+1<4=1；若以>3,则^k+>~4—=父根据数学归纳法可知，V/?eN=0vdiv1OOs”v1；V/?eN。1>30禺>3.综上所述，对一切A?eN都有an+
4、｝>an的充要条件是0<«]<1或⑷>3.3.数歹1」｛血｝中，Q]=l,。2=扌，且禺+1=5_5"（心2）,求如，。4，猜想0“的表达式,舛tian并加以证明.解：Td2=才，且偽+1=（川一1皿n~an(心2),I*猜想：）.下面用数学归纳法证明猜想正确.⑴当n=时易知猜想正确.⑵假设当n=k（k^）吋猜想正确,即ak=3k^2'当n=k+时，]k—1伙_1皿伙Q3力_23k—2如=下石7=]=游刁二T3k—23—2k-k-=3疋一2£—1=(3«+1)伙一1)_1_1=3£+1=3伙+1)-2，:.n=k+时
5、猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意eN*都正确.4.(2011年南通质检)己知d>0,b>0,斤>1,用数学归纳法证明：苓弓2
6、^2证明：(1)当n=2时，左边一右边=、丄>0,不等式成立.⑵假设当n=k伙UN：R>1)时，不等式成立，即二―三因为。>0,方>0,k>,所以(ak+l+bk+l)~(akb+abk)={a~b)(ak~bk)>0,于是ak+[+bku>akb+abk.£±f^+i=当n=k+l时，ak+i+bk+i+ak+i+bk+}ak+l+bk+lwa+ba+b^ak+bka+b'+01+akb
7、+abk丁丿•丁Wh'P42即当斤=£+1时，不等式也成立.n+甘综合(1),(2)知，对于d>o,/?>0,/?>1,/?eN*,不等式"2725.数列{加满足S“=2n—g“(用N*)・(1)计算G
8、,心，。3，他，并由此猜想通项公式d”；⑵用数学归纳法证明⑴中的猜想.解：(1)当72=1时，d[=S
9、=2—CI],6Z1=1..3Ql+d2=S2=2X2—6?2,^2=2°.7G]+a2+d3=S3=2X3—如，•：。3=才.CI
10、+d2+。3+他=S4=2X4—血,。4=g・2"—]当n=2时,当;?=3时,当斤=4时
11、，由此猜想an=-^V(neN*).(2)证明：①当/7=1时，671=1,结论成立.②假设n=k(k^)时，结论成立，2“一1即念=于厂，那么n=k+1时，如I=S叶i一S*=2仗+1)一依+1—2k+ak=2+以+1,・・2以+1=2+g,丄21.2+ak*2®2a+,-1••如1=二一=—2这表明n=k+1时，结论成立."总成立.由①②知猜想给=評成立.6.(探究选做)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表:23456789101112131415设(八丿WN)是位于这个数表屮从上往下数第，行、从左往右数笫
12、丿个数，数表屮笫门亍共有2‘t个正整数.(1)若创=2010,求八丿•的值；⑵记如=。
13、
14、+。22+如3eN*),试比较与rr+n的大小，并说明理由.解：(1)数表中前n行共有1+2+22+・・・+2"7=2"—1个数，即第i行的第一个数是2/_,,V2,°<2010<2,1,句=2010,:.i=\.令2,0+j-1=2010,解得J=2OlO-2,o+1=987.(2)T=Q]I+022+。33卜如=(1+2+2?+・・・+2"*)+[0+1+2(n—1)]=2J+竺巳•:A,—（7?2+n）=2"—1一（/+〃）/+3
15、〃+22'lz十“丄../+3n+2,9当n=时，2<，则A“v/r+n；2当n=2时，2"W?+2,则当〃=3时，2〃皿J+2,则九需+处当n=4时，2->-+^?+2,则缶>/+〃；“h2+3/?+22>―2—下面用数学归纳法证明猜想正确.①当心4时，2jQ芳兰即2n>
