基于几何迭代(ART)的断层成像问题

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1、基于几何迭代的断层成像问题李金臣邵春雨2013.7前言ART算法可以追溯到柏拉图从投到墙上的影子重构问题，一直到柯马克的计算X射线断层成像问题。所有的问题都是要求从某个中重构物体。这一个投影可以看作是物体的切片的平均。在本文中我们介绍ART算法并且提出断层成像相关的正问题和反问题,同时讨论所提问题的性质。摘要本文用ART算法研究断层成像问题,讨论断层成像的解收敛性，并提出矛盾方程和不定方程收敛值的特点，同时讨论迭代到什么程度认为是所提问题的解。讨论不同情况下，上机的实验结果。关键词：ART算法，收敛性，超定解，不定解正文ART算法简介ART算法使用连续正交投影来

2、近似方程的解。下面考虑k个未知数的单个方程v1x1+v2x2+…+v3x3=u.当k=2时，这一方程的解集为一直线，当k=3时，它是一个平面，而一般情况下解集叫做超平面。这一超平面由向量v的系数和标量u来决定，它可以表示为H={x∈Rk：v，k=u}，其中（.,.）是通常的内积。向量v是超平面的法线，因为对于所有的x，z∈H，（v，x-z）。对于给定x∈Rk，y关于H的正交投影因此为唯一的向量Py∈H,标量t必须满足tv2=v，y-Py=v,y-u。但是Py=y-tv，所以Py=y+u-（v，y）v2v。因此，超平面的投影是容易实现的，特别是如果向量v有相对少的

3、非零元时。由m个线性方程k个未知数构成的方程组的解属于m个超平面的交集，其中每个超平面由一个方程决定。而ART算法是通过连续投影到这m个超平面上来近似求解的。把这个方法应用于y，一个周期后得到新的y1=Qy，Q=PmPm-1…P1,其中Pj是第j个超平面上的投影算子，重复这个周期，给出进一步的近似式y（2）=Qy（1）等。ART算法收敛性的证明及迭代步数的选取(1)射影定理：记H={x∈Rk：v，x=u}，其中（.,.）是通常的内积，向量v是超平面的法线，对于给定x∈Rk，y关于H的正交投影因此为唯一的向量Py∈H，且满足（y-x）2=Py-x2+（Py-y）2

4、其中.是欧几里得范数。（k>n）（2）ART算法收敛性的证明ART算法是通过连续投影到这m个超平面上来近似求解的，并设起精确解为x。把这个方法应用于y，一个周期后得到新的逼近值y1=Qy，Q=PmPm-1…P1,其中Pj是第j个超平面上的投影算子，重复这个周期，给出进一步的近似式y2=Qy1…y(n)=Qyn-1，并且limn→∞（yn-x）=a；a为某个常数证明：由射影定理得（y-x）2=P1y-x2+（P1y-y）2.（P1y-x）2=P2P1y-x2+（P2P1y-P1y）2…………………….（Pm-1…P1y-x）2=PmPm-1…P1y-x2+（PmP

5、m-1…P1y-Pm-1…P1y）2;由以上m个式子（y-x）2=PmPm-1…P1y-x2+（PmPm-1…P1y-Pm-1…P1y）2+…+（P2P1y-P1y）2+（P1y-y）2.即Qy-x2=（y-x）2-（PmPm-1…P1y-Pm-1…P1y）2-…-（P2P1y-P1y）2-（P1y-y）2.Q2y-x2=（Qy-x）2-（PmPm-1…P1Qy-Pm-1…P1Qy）2-…-（P2P1Qy-P1Qy）2-（P1Qy-Qy）2.………………………………………………………………Qny-x2=（Q（n-1）y-x）2-（PmPm-1…P1Q（n-1）y

6、-Pm-1…P1Q（n-1）y）2-…-（P2P1Q（n-1）y-P1Q（n-1）y）2-（P1Q（n-1）y-Q（n-1）y）2{11}Qny-x2≤（Q（n-1）y-x）2，而对于任意n，Qny-x2有界由数列单调有界定理得Qny-x2列的极限存在，并且limn→∞（yn-x）=a；a为某个常数如果当给定方程为不定方程，a=0；当给定方程为矛盾方程时，a非零。（3）.给定阈值δ由收敛性得limn→∞Qny-Qn-1y=0；当Qny-Qn-1y<δ我们认为迭代停止，本文我们取阈值我们取δ=0.1，ART算法在断层成像的应用及其正问题和反问题我们将ART算法应用

7、到一个很简单的射线摄影术问题中来。考虑物体为n×n排列的“像素”。我们假定物体在每个像素内是一样的，但像素与像素之间可能存在差异，我们的目标是得到关于像素之间变化情况的图片。假设物体被通过像素中心的放射线所照射。我们从第一行开始从左到右排列这些像素，光线的观察向量为V=[0，1，0，1，0，0，0，0，0]。假设材料的每个像素吸收射入它的放射线的一部分。这个部分（0,1）区间上的一个数，接近于0的值说明像素是透明的，而接近1的值表明像素是基本不透明的。我们称第j个像素吸收部分=pj为该像素的吸收系数。假设一束光线的观察向量为v=[v1，v2，…，vk]，vj∈0

8、,1，j=1，…，k=n