专题12二次函数-2017原创之高中数学黄金100题系列（解析版）

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1、第12题二次函数精彩解读【例1)己知函数/(x)=x2-2%,g(x)=x2-2x【试题来源】人教版A版必修1第39页B组第1I.题源探究•黄金母题题【母题评析】本题主要考查利用二次函数的图象研究二次函数的单调性和最值.高考中的许多最值问题最值都可以转化为二次函数在某个区间上的最值问题，故本题是一个典型的二次函数问题.【思路方法】二次函数问题，常常借助其图像研究函数的单调性、对称性、在某个区间上的值域,借助图象解对应的一元二次不等式和根的分布问题.【答案】B【解析】因为y=f(x),y=

2、F—2尢—31都关于兀=1对

3、称,所以它们交点也关于兀=1对称，当加为偶数时，其和为2x-=/n,当加为奇数时，其和为2x巴二扛1=加，故22选B.【命题意图】本类题通常主要考查以二次函数为载体考查函数图象、对称性、单调性及最值・・【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与函数的定义域、值域、单调性、最值、方程解或函数零点的个数、解不等式性质等数学知识结合，难度为容易题题、中档题、也有有难题.(xel2,4J).(1)求/(x).,g(x)的单调区间；(2)求f(x),g(x)的最小值.【解析】(1.)由题知,f

4、(兀)=2(兀一1),g©)=2(兀一1),当兀<1时，/z(x)<0,当兀>1时，广(兀)>0,当20,所以/(兀)的单调减区间为(-oo,l)，单调增区间为(1，+8)；g(兀)的单调增区间为[2,4].⑵由(1)知，当X"吋，几.(小/(XT；当兀=2时，g罰(x)=g(2)二0・11・考场精彩•真题回放【例2][2016高考新课标2文数】己知函数f(x)(MR)满足f(x)二f(2-x),若函数尸-2尸3

5、与尸图像的交点为(xi,yi),lx?、y-L)，…，(心,%),则工兀=()/

6、=1(A)0⑻也「(C)2m(D)4/〃【难点中心】若题目为关于某个函数的二次函数单调性、值域、最值或零点个数问题或可化为关某个函数的方程解得个数问题，通常用换元法，转化为一元二次函数或一元二次方程在某个范围上的问题，利用一元二次函数的图象与性质求解，注意新变量的取值范围，对含参数的一元二次函数的最值问题，注意分类讨论结合图像处理.III.理论基础•解题原理考点一二次函数的概念与表示1.概念：形如：f(x)=ax2+bx+c(ghO)函数叫二次函数；2.表达形式有：(1)一般式：f(x)=ax2+bx-^-c(tz0

7、).(2)顶点式：若(加,川)为抛物线的顶点坐标.f(x)=a(x-iri)2+n(3)截距式:设西，花为抛物线与兀轴交点的横坐标，则f(x)=a(x-xl)(x-x2)o・考点二二次函数图像与性质解析式f{x)=ax+bx+c(日>0)/'(%)=ax+bx+c(a<0)图象*定义域(—8,+OO)(―°°,+°°)值域4ac—l/,、L4八+s丿(4ac—l/l814臼」单调性在圧在胆(—8,—备上单调递减；j-2?+［上单调递增在圧在XW-土,上单调递减；(—8,—£上单调递增对称性函数的图象关于/对称考点三二

8、次函数图像与性质的应用1.一元二次方程的实根分布州，吃是—元二次方程似？+加+c=0的根，设f(x)=ax2+bx+c.根的分布充要条件充要条件1充要条件2x2,X)e(加，+8)%!>m且x2>mV(%j一m)+(x2一in)>0(X,一m)(X2-772)>0A=/?2-4ac>0■Vh>m2aA=/?2-4gc>0af(m)>0x2e(一8,m)%)0■Vh0af(m)>0■xx

9、]0af(ni)>0af(n)>0对一元二次方程根的分別问题，结合对应函数的图像，考虑对称轴、判別式、端点函数值…III.题型攻略•深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与分段函数、复合函、方程、不等式等数学知识结合考查函数的值域、零点个数或方稈解得个数，难度为中档或中档以「上.【技能方法】解决此类问题通过分类整合结

10、合化为分段函数，结合函数图像与性质解题，转化化归思想、分类整合思想、数形结合思想是解题的法宝.【易错指导】(1)对二次项系数含参数的问题，要分二次「项系数大于0小于0两类，结合对应图像处理；(2)对可化为含参数的二次函数在某个区间上的最值问题，要根据对称轴在区间左、屮、右分类结合图象求解；(3)在用换元法化为二次函数或二次方程问题时，注意新变量