一个可逆过程的探究

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1、个可逆过程的探究山西芮城中学郝自华陈春霞如图1所示，表面光滑半径为R的半球固定在水平面上，一质点从顶点A由静止滑下，质点将在球面上B点脱离球面，之后沿抛物线BC落至水平面上C点。现在考虑其逆过程。质点从C点斜向上抛岀，质点将沿抛物线CB到达B点。问题是质点过了B点后能沿球而BA到达A点吗？观点一：根据过程口J逆性原理，从C点斜抛出的质点到达B点后一定沿球面观点二抛物线CB跟球面相切于3点，若将抛物线CB向上延t画完整，则抛物线过B点后位于球而上方，这样从C抛出的质点，到达B点后将继续沿抛物线运动，而不会卜•落到球面上，也就是不会沿球面上升到A点。如图2。无疑观点一是正确的，即从C斜抛出

2、的质点能够沿原來的路径返回到球顶A点。那么观点二的问题在哪里呢？图3若质点从C抛出后越过B点真能沿球而到达力点，必须是抛物线CB向上延长后出现在球面内。只有这样质点到达B点后，才不会再沿抛物线运动，而只能在球面的支持下沿球面上升到达A点，如图3。由于受经验的影响，持观点二者认为抛物线要与球面相切只能是图2的情形，而不能是图3的情形。其实图3中的情形是正确的。两曲线“相交”而过,却又“相切”。这在数学里也是很少遇到的情形。下面给出有关的计算。图1屮质点从A点下滑，至B点与球面分离，根据向心力公式有mgcos0从A到B的过程中，根据机械能守恒定律有mgR(l-cos^)由以上两式可求得下滑

3、至B点时的速度及位置COS&=—32BD=-R3质点从B至C过程中由运动合成和分解知识有CD=vBcos^-fBD=vBsin^-f+—gt22vcCOS0=vBcos。vcsin0=i?bsin0+gt可解得到C点时的速度及位置(取g=10m/s2)vc=』2gR，cos0=CD=—(V23-a/5)R27图3中，质点从C点，以上述速度％斜向上斜抛出，抛射角为0,以C点为原点建立直角坐标系可求出抛物线的轨迹方程：x=q.cos0・f消去/可得V23尸十-—16R容易得出抛物线顶点坐标4』23pxP=RP27_23qVp=—R加27对应丁+境R的P点，即CT可求得4JsDP=CP-CD

4、=^R27OP=OD-DP=—R27与p点对应的球面的高度hp=』R2_Op2迥RP2727可见yP

5、面高度做比较，证实了抛物线在B点以上出现在球面内。下图是用计算机画出的图。附:在FlashMX中的画图脚本r=250;lineStyle(3,0x000000,100);moveTo(0,300);lineTo(600,300);moveTo(0,300);lineTo(0,0);圆的半径横轴纵轴lineStyle(2,OxFFOOFF,100);moveTo(0,300);for(i=0;i<360;i++){x=i;yl=Math.sqrt(23)*i/2;y2=27*i*i/(16*r);y=300-yl+y2;lineTo(x,y);}moveTo(4*r*Math.sqrt(

6、23)/27,300);lineTo(4*r*Math.sqrt(23)/27,72);抛物线抛物线顶点线c=r*(4*Math.sqrt(23)+5*Math.sqrt(5))/27;co长度lineStyle(2,OxFFOOOO,100);moveTo(c-r,300);for(i=0;i<2*r+1;i++){x=c-r+i;yl=r*r;y2=(x-c)*(x-c);y=300-Math.sqrt(yI-y2);lineTo(x.y);圆心线分离点OB线BD线moveTo(c,300);lineTo(c,50);moveTo(c,300);lineTo(c-r*Math.sq

7、rt(5)/3,300-2*r/3);lineTo(c-r*Math.sqrt(5)/3,300);作者：郝自华陈春霞工作单位：山西省芮城中学联系地址：山西省芮城屮学邮政编码：044600电话：0359-3026822E-mail:zihuahao@163.com