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1、高中数学微课题研究一、在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1,2,3,?,n?”为自然数集，而现在则定义“0,1,2,3,?,n?”为自然数集。显然这样的解释是不够的，下面谈谈笔者的理解。自然数的功能自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。一开始它就有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的
2、基数；二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质；第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系，随着对运算的深入研究，使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算，这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。为什么要把“0”作为自然数我们从自然数的功能上回答这个问题。第一、“0”不是自然数时，其基数功能不完整。我们知道“空集”是最基本的集合，也是我们描述周围现象时常用到的集合概念，在集合论中用专门的符号“①”表示。例如方程X2+1
3、=0的实根集合就是一个空集。有了空集的概念后，我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。首先，对任意集合A,我们定义A+=AU｛A｝为集合A的后继。其次，定义：0二①；1=0+=①U｛①｝二｛①｝;2二1+二｛①｝U｛｛◎｝｝=｛①，｛①｝｝;3=2+二｛①，｛①｝｝U｛｛①，｛＜!)｝｝｝=｛①，｛①｝,｛①，｛①｝｝｝；??从这个定义可以看出，每个自然数可看作一个集合的名称。在日常生活中，我们常用数出集合元素数目的办法来判断有限集中元素的个数，这实际上是在所给集合与某个自然数表示的集合之间建立一个一一对应。所以用集合论的观点，我们
4、可给出有限集及其元素个数的严格定义如下：“设A是一个集合，若在A与自然数集N的某个元素n之间存在一一对应，则称A为有限集，且称n为集合A的基数或势”。把空集划分为有限集是很自然的。但当“0”不是自然数时，就没有一个自然数可表示空集的基数，这样不管从日常生活的语义上，还是上述严格定义上，自然数描述有限集基数的功能均不完整；反之,可用“0”表示空集的基数，则“所有自然数”就可以完整刻画“所有有限集元素的多少”这一任务。这样我们从自然数的基数功能说明了把“0”作为自然数的好处。第二、我们还要说明，把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”与“
5、运算功能”。首先，在集合论中，常常要讨论元素之间的序关系，并根据序关系的性质将集合分为"偏序集”、"线性序集”、“良序集”等，序关系为我们提供了一种比较集合中元素的手段，在日常生活中有广泛的应用。自然数的序关系具有比较好的性质，这些性质通常是用关系运算“W、2、、=>来描述的。我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的。在“顺序”方面，除了上述性质外，自然数还有一种特殊的性质，这也是自然数区别于整数集、有理数集、实数集的本质性质，即“自然数的任一非空子集中，一定有最小的数”，也就是说自然数集还是一个良序集。尽管整数集、有理数集、
6、实数集都是线性序集，但它们不具有自然数的特殊性质。例如，所有负整数是整数集的子集，但它无最小数。又如区间作为实数集的非空子集也没有最小数，而区间内所有有理数构成的集合作为有理数集的非空子集也没有最小数。自然数的这一特殊性质是保证数学归纳法成立的基本性质。很明显,不管“0”是否归于自然数集，上面讨论的自然数的“顺序”性质都成立，当然也包括那种特殊性质。实质上没有“0”的自然数集与包括“0”的自然数集可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的：n-n+1,从代数学的观点来看它们是“同构”的。这样我们说明了把“0”作为自然数，不会影响其“序数
7、功能”。结论既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处，没有坏处,我们为什么不欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢？即“0”作为自然数是理所当然的，而不仅仅是一种“规定”。这可帮助我们更好地理解自然数和它的功能，也可帮助我们养成一个良好的习惯，即学习一个数学概念时，不但要记住和理解“定义”和“规定”，还要思考这些“定义”和“规定”后面的数学含义。二、斜率也就是tan的角度，直线与X轴平行斜率等于0,也就是tan0=0直线与Y轴平行，也就是与X成90度，也就是tan90=无穷大，所以不存在tan是对边比邻边因为从0-90度，对边越来越大，而邻
8、边越来越小，到90度的时候，邻边为0了，而0不能作为除数，所以不存在tan90三、在高中人教A版教材中有这样一句话："两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或
