集合的深入研究

《集合的深入研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、采口摘要集合论是当代数学的基础。学习集合，不仅应从木质上去理解与集合有关的各个概念、性质和运用法则，更重耍的是在解题的过程屮自觉地应用集合的语言和方法去表示各种数量关系，解决各种数学问题。关键词集合，概念，性质，法则引言集合是近现代数学最基本的内容Z-O集合概念及具理论，成为集合论，是近现代数学的一个重耍基础。一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合论的基础上，另一方面，集合论及具所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用。通过学习集合，让我们对集合有一定程度的了解，如学会集合的表示方法,知道常用集合的字母表示，能够正确区分元索与集合之间的关

2、系等内容。集合的由来[1]康托是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19ttt纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根木上苗离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明丿隶托是正确的。他所创立的集合论被誉为20ttt纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。集合论是徳国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。十七世纪，数学中出现了一门新的分支

3、：微积分。在之后的一二百年屮这一•崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人來不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，岀现了一场重建数学呈础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若T确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体,就称为一个集合，It屮各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7口给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天立为集合论诞生口。集

4、合的发展[2]然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二l-ttt纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建、'/：在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。在1900年第二次国际数学人会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学己被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格己经达到了。”然而这种口得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。罗素构造了一个所有不属于口身（即不包含自身作为元素

5、）的集合R。现在问R是否属于R?如果R属于R,则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R,则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。这一仅涉及集合与属于两个最基木概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾Z中。这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF公理系统。原木直观的集合概念被建、'/：在严格的公理基础之上

6、，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其对能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的兀园中赶出去。从烘托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进…步发展的模糊集合论的岀现等等。而这一切

7、都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作晶，是人类纯智力活动的最高成就Z—。康托尔的无穷集合论是过去两千五白年中对数学的最令人不安的独创性贡献。”集合的内容1.1集合的定义集合是数学中最基本概念，它已深入各个科学领域中，特别是应用于数学的各个分支中.一般地我们用大写字母45C表示集合集合中的每一个个体称之为集合中的元素，一般地集合中的元素用小写字母…表示.1.2集合的性质[3]（1）确定性：对于给定的集合，

8、它的元索必须是确定的，也就是说，任何一个元素在不在这个集合中就确定了，不能含糊不清、模棱两可。如直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的点，（1,1）在这个集