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1、12机械2班徐云20120310010215机械振动学总结第一章一、简谐振动物体作简谐振动吋，位移X和吋间t的关系可用三角函数的表示为/+0）x=Acos（乍t-（p）=Asin牛式中：A为振幅，T为周期，0和鸭称为初相角。如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度⑵称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即v=x=Aa）cos（a）t+y/）a=x=-Aco1sin（血+鸭）可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。因此在物
2、体运动前加速度是最早出现的量。可以看岀，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。这是简谐振动的重要特征。在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。图P6旋转矢量的模为振幅A,角速度为角频率⑵Z=4RS+0）若用复数来表示，则有z=Acos（血+妙）+jAsin（血+妙）用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。因为复指数R血对吋间求导一次相当于在其前乘以丿加，而每乘一次j,相当于有初相角彳。二.周期振动满足以下条件：1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点
3、，且间断点上函数左右极限存在；2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。则都可展成Fourier级数的形式，若周期为T的周期振动函数，则有OO兀⑴二牛+£如sin（/?〃+乞）2n=式屮tany/nbn三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动x2=A2sin（69/+^2）,x2=A2sin（ey2r+^2）它们的合成运动也是该频率的简谐振动x=Asin（m+妙）2•俩个不同频率振动的合成兀］=Asina）ytx9=A,sinayAm若禺50，则合成运动为x=%,+x2x=A,s
4、in69/+Asinco2t若a）｝＞a）2,对于=A=A，则有x=sincoxt+Aysinco2t"羽cos（乎"Sin（晋"上式可表示为.8co.2Asin——rsincot2二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x方向的运动为x=Asincot沿y方向的运动为y=Bsm（a）t+（p）2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动x=Asina)}ty=Bsin(©f+0)它们的合成运动也能在矩形屮画出各种曲线。四自由度物体在受约束条件下运动吋，用于其确定位置所需的独立坐标数就是该系统的
5、自由数度数。一个质点在空间做自由运动，决定其位置需要三个独立的坐标，故其自由度为3,而由n个相对位置可变的质点组成的质点系，其自由度为3n,刚体运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，需要确定其沿直角坐标x,y和z的3个转角，所以其自由度为6,弹性体，塑性体和流体等变形连续体由于由无数个质点组成，故其自由度数为无限个。在振动分析中，往往把连续体这种分布系统用有限多个离散的集中参数来代替，做近似的描述。系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时的自由度数与约束条件数之差。对于n个质点组成的质点系，个质点的
6、位移可用3n个直角坐标来描述。当有r个约束条件时，约束方程为ACWZ，…忑,儿厶)=°"1,2,…，厂为了确定各质点的位置，可选取N=3iw个独立的坐标%=幻3，)“,…心，儿,z”)j=2,・・・,N来代替3n个直角坐标，这种坐标叫做广义坐标。第二章一线性系统状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。叠加原理是指:如果系统相应于任意两种输入和初始状态(ul(t),xOl)和(u2(t),x02)时的状态和输出分别为(xl(t),yl(t))和(x2(t),y2(t)),
7、则当输入和初始状态为(Clul(t)+C2u2(t),Clx01+C2x02)时,系统的状态和输出必为(Clxl(t)+C2x2(t),Clyl(t)+C2y2(t)),其中x表示状态,y表示输出,u表示输入,Cl和C2为任意实数。一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。但是，相反的命题在某些情况下可能不成立。线性系统的状态变量(或输入变量)与输出变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部
8、分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这--性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。二无阻尼自由振动单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程nvc+恋=0令w；=khn,系统的运动方程可表示为x+w^x=O函数x(t)必须具有这样的性质：在微分过程中不改变其形式。因而假定方程的解为x(r)=B』的形式是合理的。式屮B和2是待定常数，代入方程中仇+诟)3宀0方程决定于A2+w；=0
