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1、中国矿业大学2017-2018学年第二学期《数学建模竞赛》论文题目：欹器模型研究学院：电力学院班级仃电气4班姓名王天伦学号仃仃5287成绩评阅人备注摘要欹器空着和满着的时候，重心都在中心稍下一点的位置。随着欹器中水位的升高，它的重心应该是先下降后升高，那么重心必然有一个最低点。重心最低的时候即“中则正”。本题中，我们将最简单的欹器形状看做一个圆柱体，高度假定为1（个单位）。由于液面上升过程中，重心始终在被子弹中轴线上变化，故以中轴线的底端为坐标原点，沿中轴线建立坐标轴X,液面高度从x=0增加到x=1,而重心是x的函数，记作S（x）o装着水的欹器重心位置由液体和欹器本身的质量和重心决定。假设液体
2、和欹器材料都是均匀的，一满杯液体（不计欹器）的质量记作W1,空杯侧壁的质量记作W2，空杯底面的质量记作W3O因为欹器是高度为1的圆柱，所以液面高度1为X的液体质量是W1X,其重心记作S1,是高度的一半，即S1=-.液面上升过程2中空欹器的质量不变，其重心与X无关,只由W2和W3的大小决定。简化起见，先忽略W3,建立欹器重心s（x）的模型，用MATLAB绘制s（x）的图像。求解重心最低点的位置，并讨论其性质，然后再将W3加入模型。关键词欹器数学模型重心MATLAB微分法优化问题重述"孔子观于鲁桓公（公元前7笛年〜前694年在位）之庙，有欹器焉。孔子问于守庙者曰：此为何器？守庙者曰：此盖为宥坐之器
3、。孔子曰：吾闻宥坐之器，虚则欹，中则正，满则覆。孔子顾弟子日：注水焉。弟子挹水而注之，果中而正，满而覆，虚而欹。孔子喟然而叹日：吁！恶有满而不覆者哉！“欹器有个特点：当它空虚不盛一点水时，就只能欹斜地放着而无法端正地放置，把它扶正后，一放手它就又歪斜在一-边，这就是所谓"虚则欹”；在这容器中注入中等数量的水，就可端正地摆放在那里，这就是“中则正"；但在容器注水又不可太满。水太多了，它又会自动向另一侧翻倒，而把水都倒了出来，这就是所谓的”满则覆“。欹器空着和满着的时候，重心都在中心稍下一点的位置。随着欹器中水位的升高，它的重心应该是先下降后升高，那么重心必然有一个最低点。重心最低的时候即“中则正
4、”。问题:建立一个数学模型，描述欹器的重心随液面上升而变化的规律，找出重心最低点的位置，并讨论最低点由哪些因素决定。条件假设1.将欹器的形状看做一个圆柱体杯子。2.假定欹器高度是1（个单位）。3.假设重心始终在中轴线上。4.假设液体和欹器材料都是均匀的。符号说明符号意义X液面高度S重心W1一满杯液体（不计欹器）的质量W2土杯侧壁的丿贞里W宅空杯底面的质量沛面咼底为X的液体重丿1、S2只考虑侧壁的情况下，牢杯的重心位置问题分析将最简单的欹器形状看做一个圆柱体，高度假定为1（个单位）。由于液面上升过程中，重心始终在被子弹中轴线上变化，故以中轴线的底端为坐标原点，沿中轴线建立坐标轴x,液面高度从x=
5、0增加到x=1,而重心是x的函数，记作S（x）o装着水的欹器重心位置由液体和欹器本身的质量和重心决定。假设液体和欹器材料都是均匀的，一满杯液体（不计欹器）的质量记作W1,空杯侧壁的质量记作W2，空杯底面的质量记作W30因为欹器是高度为1的圆柱，所以液面高度1为X的液体质量是W1X,其重心记作S1,是高度的一半，即Si=.液面上升过程2中空欹器的质量不变，其重心与X无关，只由W2和W3的大小决定。简化起见,先忽略W3,建立欹器重心S（X）的模型，求解重心最低点的位置，并讨论其性质，然后再将W3加入模型。模型的建立与求解模型一的建立在忽略空杯底面而只考虑侧壁的情况下，空杯的重心位置记作S2，显然S
6、2=1/2o液面高度为X吋欹器的质量为W1X+W2,其重心S=S(X)由液体质量W1X>重心S1与空杯质量W2、重心S2的力矩平衡关系得到，根据物理学关于重心的计算公式，有(1)(W1X+W2)S=W1XSi+W2S2??2将s仁x/2、s2=1/2代入，并记a=—,由(1)式可解出s得??1S(x)=(??2+a)/2(x+a)(2)(2)式表明欹器的重心随液面高度的变化规律s(x)只与空杯和满杯液体(不计杯子)的质量比a有关。当a取不同数值0.1,0.3,0.5,1时，s随x的变化曲线如figure1-4。由图可见每一个a,s都有一个最小值。如若a二0.3,则液面x在0.35左右s最小，即
7、重心最低。模型一的求解函数s的极值问题可以用微分法求解。对(2)使用微分法求导数得ds/dx=[4x(x+a)-2(xA2+a)]/4(x+a)A2(3)令ds/dx=0得到x2+2ax-a=0,这个二次代数方程的正跟是s(x)的最小点，记作？？?，有???=??2+?$(4)当液面高度为？??时，欹器重心处于最低位置。由(4)式表示的曲线如figure5给出了？??与质量比a=^之间的关系。将(
