2.3.1离散型随机变量的数学期望

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1、离散型随机变量的期望与方差课时作业湟中县多巴高级中学张海邦1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大

2、小（离散程度）．的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．为随机变量，为常数，则；4．典型分布的期望与方差：（1）二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．（2）二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．（3）超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则，．题型一选择填空【例1】下面说法中正确的是()A．离散型随机变量的期望反映了取值的概率的平均值B．离散型随机变量

3、的方差反映了取值的平均水平C．离散型随机变量的期望)反映了取值的平均水平D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值【例1】投掷1枚骰子的点数为，则的数学期望为（）A．B．C．D．【例2】已知随机变量的分布列为123则等于（）A．B．C．2D．1【例3】随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若则的值是．【例4】样本共有五个个体，其值分别为若该样本的均值为1,则样本方差为（）A．　　　　Ｂ．　　　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．２【例5】某射手射击所得环数的分布列如下:789100．10．3已知的期望

4、,则的值为________．题型二、综合题【例6】编号的三位学生随意入座编号为，，的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是．⑴求随机变量的概率分布；⑵求随机变量的数学期望和方差．【例1】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ

5、）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望．【例2】某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0．6，答对第二题的概率是0．5，并且他们回答问题相互之间没有影响．（I）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求的分布列及数学期望．【例3】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不

6、影响．求签约人数的数学期望．【例1】某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望．【例2】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为商场经销一件该商品，采用期付款，其利润为元；分期或

7、期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元．表示经销一件该商品的利润．（1）求事件：“购买该商品的位顾客中，至少有位采用期付款”的概率；（2）求的分布列及期望．【例3】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为，，，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．（1）求甲、乙、丙三人均达标的概率；（2）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（3）设表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求的概率分布及数学期望．【例1】举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有个白球、个红球的箱子中每次随

8、机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金元；摸出两个红球可获得奖金元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：（1）的概率分布；（2）的期望．【例2】两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员队队员胜的概率队队员负的概率对对对现按表中对阵方式出场，每场胜队得分，负队得分．设队、队最后总分分别为．求的期望．