函数的周 期性

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1、09函数的周期性知识梳理1.周期函数的定义对于函数，如果存在一个常数，能使得当取定义域内的一切值时，都有，则函数叫做以为周期的周期函数。2.与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；(2)周期函数的定义域是无界的；(3)若为的周期，则也是的周期(4)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；(5)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即型(

2、6)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；(7)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；（6）（7）可概括为：“乘积为型”即型(8)若函数是偶函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；(9)若函数是奇函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于点、直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；(10)若函数是奇函数，且关于点对称，则是周期函数，是它的一个周期

3、；推论：若函数关于点、对称，则是周期函数，是它的一个周期。（8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴”型（11）分式递推型：即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是经典习题（提示：本知识点常考小题，因此练习为主）一.选择题1.设是上的奇函数，，当时，，则（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.是定义在上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．23.已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）A.B.C.D.4.设函数为奇函数，且，

4、则等于（）A.0B.1C.D.55.设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（）6.定义在上的函数满足，则的值为()A.-1B.0C.1D.27.已知定义在上的函数满足且,,则（）A.B.C.D.8.定义在上的函数是奇函数，又是以为周期的周期函数,则()A.-1B.0C.1D.49．定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则大小关系是()A．B．C．D．10.设函数（）是以为周期的奇函数，且，则()11.函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在上是减函数，那么在上是()增函数减函数先增后

5、减函数先减后增函数12.设偶函数对任意，都有，且当时，，则()13.定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为()14.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为()15.已知是定义在上的函数，且满足，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的()A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件16.设是定义在上的正值函数,且满足.若是周期函数,则它的一个周期是（）....17.在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（

6、）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数二.填空题18.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则19.函数对于任意实数满足条件若，则__________20.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则21.若存在常数，使得函数满足，的一个正周期为22.设，记，则23．已知函数满足，则三.解答题24.设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值25.已知函数的图象关于点对称，且满足，又，求的

7、值.26.已知函数是定义为上的奇函数，且它的图像关于直线对称（1）求证：是周期为4的周期函数；（2）若，求时，函数的解析式。27.已知函数的定义域为，且满足（1）求证：是周期函数；（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数。28.设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．(1)试判断函数的奇偶性；(2)试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.29.定义在上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式参考答案（一）选择题1～5BBBCB6～10CABDD11～15ADDDC16～17CC4、特取13、特取16、由是定义在上的正值函数及得，，

8、，所以，即的一个周期是6（二）填空题18、119、20、021、22、，可见，23、令得同理两式相加得，由此可得（三）解答