函数的对 称性

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1、函数的对称性一、教学目标函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到；2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图

2、象）。二、举例分析例1．设是定义在R上的函数，（1）若对任意，都有成立，则函数的图象关于直线对称；（2）若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称。选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。思路分析：（1）要证明图象上任意一点关于直线对称的点也在的图象上。事实上，，即得点也在的图象上。特别地，当都为0时，就是偶函数的特征了。（2）要证明图象上任意一点关于点的对称点也在的图象上。事实上，由在的图象上及可得，及，则有，从而得到也在的图象上

3、。特别地，当都为0时，就是奇函数的特征了。例2．对于定义在R上的函数有下列命题：（1）若是奇函数，则函数的图象关于点对称；其中正确命题的个数是--------------------------------------------------()A.1B.2C.3D.4选题目的：学生通过此题学习，加深理解图象具有对称性函数的特征，掌握图象平移后的形状保持不变，所变的是对称位置；另外要清楚是函数图象本身的对称特征还是两个函数图象的对称关系。思路分析：（1）、（2）两小题较为简单，就是平移后图象问题；（3）是函数自身的对称问题，函数满足关系：，由例1中的

4、结论知，函数图象关于点成中心对称。也可以从对应点的关系中获取，设图象上任意点，则图象上必存在与之对应的点，则P、Q的中点为定点，即为对称中心。（4）首先要清楚这是两个函数图象的对称问题，它们都是由函数图象变换得到的；图象的图象；图象例3．如图，正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点。分别以A、B两点为圆心，画出与y轴相切的两个圆。若点A的坐标为（1，2），则图中两个阴影部分面积的和是___________。选题目的：充分运用正比例函数和反比例函数的图象都是关于坐标原点成中心对称的特点，注重图形的割补法来求解；思路分析：分别求两个阴影部分面积显然

5、不可行。由于正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，可知A、B两点关于原点对称。从而⊙A与⊙B也关于原点对称，故阴影部分面积和等于⊙A（或⊙B）的面积。⊙A与y轴相切，则⊙A的半径为1，故阴影部分的面积和等于。例4．曲线C的方程是，将C沿X轴、Y轴的正向分别平移个单位长度后得到曲线，求证：曲线C与关于点对称。选题目的：学会证明两曲线的对称的方法，培养运算能力；思路分析：两条曲线的对称问题证明必须是双向的，即曲线C上的任意一点关于点A的对称点在曲线上；曲线上的任意一点关于点A的对称点也在曲线C上。三、巩固练习1．已知函数图象的对称中心为，则的值为A．

6、B．C．2D．32．二次函数满足：，且。若在区间上有最小值1，最大值3，则的取值范围是A．B．C．D．3．定义在R上的非常数函数满足：是偶函数，且，则一定A．是偶函数且是周期函数B．是偶函数但不是周期函数C．是奇函数且是周期函数D．是奇函数但不是周期函数4．是R上的函数，若与都是奇函数，则的奇偶性是A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数5．函数满足：，且方程有三个不同的根，则这三个根的和等于；6．设方程的根为，方程的根为，则的值为；10．研究函数的对称性。（1）；（2）上述两个函数的对称性给我们什么启示，能否得出对称

7、性的一般结论