欹器的形状的探究

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1、2.1假设欹器初始形状使用重力势能分析的方法，仅对触地式的欹器进行了原理设计。欹器的形状的探究扌商要：首先通过对欹器形状的预测，分析其工作吋的受力状态，然后回来对欹器的形状重新进行修正，再重新对它的工作吋的受力状态进行分析，进行形状改进，直至满足所需口地。木文的工作给已经消失的古人欹器提出了i种可参考的设计方案。关键词：欹器，预测，修正1.引言敬器，乂名有处Z器,在屮国古代常用來告诫人们要谦逊处世.据文献记载，春秋末期敬器曾在宫中盛行，并一直流传到汉代。但是却在三国时期的战乱中失传了[1],后世虽有多人试制出来，但都未能阳传下来。对于敬器究竟是一种什么样的器具，其形状如何？至今耒

2、有定论.木文将根据静力学原理对其进行分析，给出一种理想化的简单模型，以实现其全部功能，并且给出相关各量的关系，或许对开发利用这一古老的文明成果会有所帮助。根据《苟子＜坐》中记载屮而正，满而覆，虚而敬。我们可知欹器实际上体现了在注水过程屮系统重心的变化。2.形状假设与力学验证我们目前所知的欹器大概形状冇三种触地式（见图1）、悬浮式、悬挂式。本文图2.触地式欹器实物根据文献记载和考占发现，敬器的形状可能与半坡遗址中出土的尖底陶罐类似比见图2,因此，我们首先假设其截面（重心和悬挂屮心点的铅锤面）的形状是一个对称等腰三角形，并假设器壁是均匀的，取其高度为2h,顶角为2a,如图3所示。可以

3、通过改变容器壁的厚度分布，保持容器的重心始终在过顶点M的垂线MN的中点A,则容器本身的重力G作用在A点，在后面的设计屮,我们将对容器的形状进行改变，为简单计，假设容器的重量G,重心位置A都始终保持不变。2.2根据虚则欹确定第一次假设形状Nra4虚则欹”就是在容器空的时候，器身倾斜。由此可判断其悬挂点不应该在MN线上，为使后面的两项要求容易满足，将悬挂点选在A点的右上方O点，冃取O点到MN线的距离为a,如图4,这样，由于容器门身重量的作用，器身必然向左倾斜，倾斜程度取决于O点相对于A点的位置。现在，我们已经实现了“虚则欹”的要求。这里要注意，0点既不能在A点以下，也不能在A点的同一

4、水平线上，否则，容器H将朝下或朝水平方向，都无法向里注水。另外，O点应距离A点较近效果才会好。2.3根据中则正修改形状仅冇上而的形状是不能够满足“屮则正”的要求的，因为上而的结构是左右对称的，注入水的重心必然在MN线上（我们始终假设容器不动，只进行静力学分析）。因此容器尤论注多少水，器身都应是倾斜的。为了实现“中则正”的要图5求，只有使注入水的重心向右偏移，要移到过0点的垂线的右侧，才能使水的重力与容器的重力对O点达到力矩平衡.为达到这一目的，现将容器的右侧壁绕M点向右卜•转过一个角度月，如图5所示，再建立直角坐标系XMYo当注入水达到容器屮点A时，取水面BC的屮点为I,贝U水的

5、重心在MI上的h点，口MH=?M/•而3BC=BA+AC=htga+htg(a+P)。AI=BI-AB=-/z(/g(

6、经不对称，新加入的水的重心必然继续向右偏移，打破平衡，器身向右倾斜，直到水溢出一部分。因为容器口重的力矩阻止容器继续向顺时针方向转动，所以水不会全部倒出.在容器自重和剩余水的共同作用卜，系统达到新的平衡,保持倾斜状态•可见，到此为止的容器还实现不了“满则覆”的要求，只是一个装不满的容器而已。要达到在注满水时容器倾覆，将水全部倒出，必须使新加入的水的重心向左移动，水注满吋重心移动到过0点的垂线的左侧，此吋容器将绕0点逆吋针转动，部分水溢出，剩余水的重心依然向左移动，而容器自重产生的力矩也加速容器逆时针转动，这样，在容器自重和剩余水的共同作用下，容器将一直转动到口朝厂此时将水全部倒出

7、，而后容器处于空的状态，平衡时保持倾斜。要实现上述要求,我们可以如图6设计，将容器右侧壁在C点向逆时针方向M图6弯折。假设使CE与MB平行，则上半部是一个平行四边形，下面来计算此平行四边形BCED的中心(即注满水时上半部水的重心)的X坐标值。由几何学知识知道，平行四边形的中心在其对角线的交点上，即在DC的中点，作DF垂直于BC,则其中点的处标值乙必然与的中点的X坐标值相同，所以由FC=FB+BA+AC=ZBA+AC=2htga+htg(a+0)=h(2tga+tg(a+0))兀？