资源描述：
《数值代数qr方法实验报告》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一、引言很多情况下在工程中抽象出来的数学方程组是超定的，没启精确解，这样就需要找一个在某种意义下最接近精确解的解。设A是的实矩阵，
2、
3、Ax-/?
4、
5、2=
6、er(Ax-/?)
7、2,这样min
8、
9、Ay-b
10、
11、2就等价与min
12、0(Ax—列为方便求解,需要/A是上三角矩阵，这样引入0尺分解就比较求解方便。二、豪斯霍尔徳变换豪斯霍尔徳变换(Householdertransformation)又称初等反射(Elementaryreflection),最初由A.CAitken在1932年提出,AlstonScottHouseholder在1958年指出了这一变换在数值线性代数
13、上的意义。这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像，是-•种线性变换。其变换矩阵被称作豪斯霍尔徳矩阵，在一般内枳空间中的类比被称作豪斯霍尔德算子,超平而的法向量被称作豪斯霍尔德向量。三、理论依据householder变换：任意的一个向量兀，经过一个正交变换H=I-2^W^W1后总可以变为一个与之范数相等的另一个向量弘0如上图中所示，记v=—兀，vv=v/
14、
15、v
16、
17、2，H=I-2^W^Wt上述H既为所要求的householder变换。具体操作时将需要变化的矩阵的每一列当做一个向量，笫一列变为除了笫一个元素都为0的向量…笫i列变为除了前i个元索都为0的向量…为了
18、保证在每次变化时不改变已经变好的0元素，第i次只变化每列第i个元素到第n个元素，每个变化矩阵的形式是[I0;0H]o算法如下：qr—Houserhoilder.mfunction[Q,R]=qr_Houserhoilder(A)[m,n]=size(A);Q=eye(n);fori=l:nu=housc(A(i:m,i));P=eye(m-i+1)-2/(norm(u)A2)*u*u';A(i:m,i:n)=P*A(i:m,i:n);PP=blkdiag(eye(i-1),P);Q=Q*PP;endR=triu(A);程序house.mfunctionu=hous
19、e(Ai)Ai(1)=Ai(1)+sign(Ai(1))*norm(Ai);u=Ai/norm(Ai);四、数值实验结果：阶矩阵,随得到如下一系列图:为了保证在一定阶数下，所做的数值试验具有代表性，我们随机产牛.3个着n的不断变化，(1)A=rand(4,4)A=0.30270.78940」7930.39220.23640.71340.43500.39360.46900.07420.97470.11150.53810.67680.72450.8650(Q,R]=qr_Houserhoilder(A)Q=-0.3735-0.53690.46020.6003-0.29
20、16-0.5439-0.7840-0.0668-0.57860.6445-0.26790.4219-0.6639-0.02080.3190-0.6761-0.8106-0.9951-1.2387-0.90010-0.77810.2803-0.3707-0.288600.1180-0.3286test_qr3err=0.01200.01190.30291.0e-10*0.1950x103.5.32.52.1.510.5°11.522.533.54(2)A=rand(5,5)A=0.75750.70050.64200.82330.88力0.63730.46980.58
21、150.52900.37700.66430.30360.94580.72100」2950.10560.02540.39030.10480.30270.28130.37870.53020.06270」156[Q,R]=qr_Houserhoilder(A)Q=-0.61610.43780.2968-0.5805-0.0598-0.5183-0.03810.29320.7098-0.3743-0.5403-0.6729-0.2440-0.10300.4303-0.0859-0.1847-0.5513-0.2507-0.7693-0.22880.5657-0.68010
22、.29280.2817R=-1.2295-0.9280-1.3629-1.1944-0.864800.2940・0.1496-0.12880.296600-0.44550.12310.0969000・0.1847-0.30310000-0.3388test_qr3err=1.0e-10*0.17220.01190.01200.4239-11x104.53.52.51.510.51.5233.542.5ooOHo1OUioo1o£1oLn65iO26OO6ss1o357oL>3^.6■►—A390.80200.59660.50226.47146.02290.4305
23、Ocno5
