高中数学几何体外接球求法

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1、高中数学几何体外接球求法一、知识梳理：1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆（1）长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；33（2）正三角形的内切圆半径：a外接圆半径：a63（3）正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。2．球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.定长叫球的半径；概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球3．球的截面：用一平面去截一

2、个球O，设OO是平面的垂线段，O为垂足，且OOd，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，O22以rRd为半径的一个圆，截面是一个圆面.RdrO'球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面P截得的圆叫做小圆.4.空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。长方

3、体的外接球正方体的内切球5．外接球和内切球性质：（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。243二、相关公式：球的表面积公式：S4R；球的体积公式：VR3（1）长方体（或各个顶点都落在长方体顶点上的几何体）的外接球半径公式：222abcR，a,b,c分别为长方体共顶

4、点的3条棱长2例：三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为()(A)(B)(C)3(D)122a（2）正棱锥（底面是正多边形，顶点落在底面中心的几何体）的外接球半径公式：R,，2ha为侧棱长，h为正棱锥的高例：如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD的高为3，底面ABCD为正方形，PA＝PB＝PC＝PD且AB＝，则四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为（）A．B．2C．D．366（3）正四面体外接球半径公式：Ra，内切球半径：Ra，a为

5、棱长412例：一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．3B．4C．33D．62h2（4）侧棱垂直于底面的凌锥或棱柱外接球半径公式：Rr()，h为几何体的高，2r为底面图形外接圆半径例：某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是（）A．41πB．C．D．57π（5）求外接球一般方法：找球心求半径例：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥面ABCD，PA＝PD＝AD＝3，AB＝4，则四棱锥ABC

6、D的外接球的表面积为．三、两种特殊情况1、特殊位置例：在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）125125125125A.B.C.D.129632、对角线构造例、在三棱锥ABCD中，ABCD2，ADBC5，ACBD7，则三棱锥ABCD外接球的表面积是__________．练习1、三棱锥A﹣BCD中，，AC＝BD＝2，，则该几何体外接球的表面积为．2222、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的

7、面积分别为6cm，4cm和3cm，那么它的外接球的体积为______．3、在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，且AB＝1，BD＝，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为．4、若三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA23，AB1，AC2，BAC60，则球O的表面积为__________．5、已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC是球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为（

8、）2322A.B.C.D.66326、三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，∠C＝120°，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为．7、某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．25πB．C．D．40π8、如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）41A．B．C．πD．31π49、某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．36πB．29πC．2