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1、功和能经典习题三、小试身手1.一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止开始下滑,与一质量为km的静止在水平地面上的小滑块B发生正碰撞,如图4—11所示,设碰撞是弹性的,且一切摩擦均不计,为使二者能且只能发生两次碰撞,则k的值应满足什么条件?2.半径等于r的半球形水池内充满了水如图4—12所示,把池内的水完全抽出至少要做多少功?第1页共13页3.有一台反作用式汽艇的喷水式发动机,其进水孔面积为S21=0.9m,而出水孔面积为S22=0.02m,求发动机的效率.4.如图4—13所示,已知滑轮的质量为M,半径为R,物体的质量为m,弹簧的劲度系数为k,斜面的倾角为θ,物体与斜面间光滑.物体从静止
2、释放,释放时弹簧无形变.设细绳不伸长.且与滑轮无相对滑动,忽略轴间摩擦力矩,求物体沿斜面下滑x时的速度多大?(滑轮视作薄圆盘)5.如图所示,有一固定的、半径为a、内壁光滑的半球形碗(碗口处于水平位置),O为球心.碗内搁置一质量为m、边长为a的等边三角形均匀薄板ABC.板的顶点A位于碗内最低点,碗的最低点处对A有某种约束使顶点A不能滑动(板只能绕A点转动).(1)当三角形薄板达到平衡时,求出碗对顶点A、B、C的作用力的大小各为多少.第2页共13页(2)当板处于上述平衡状态时,若解除对A点的约束,让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动,求此后三角形薄板可能具有的最大动能.6.玩具列车
3、由许多节车厢组成,它以恒定速率沿水平轨道行驶进人“死圈”(图4—15)。列车全长为L,圈半径为R,(L2R).则列车应具有多大的初速度,才能确保节车厢脱离轨道?0第3页共13页7.如图4一16所示,长为L的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的0点,下端系一质量为m的小球竖直悬挂起来,A点是平衡时小球的位置,现保持绳绷直,将小球从A点拉开到绳水平的位置B,然后在OA连线上于墙上固定一细长的钉子于某点,问夏历两种情况下,钉子到悬点O的距离各是多少?(1)将球释放后,绳被钉子挡住,以钉子01为圆心做圆周运动,如图4—17所示;(2)将球释放后,绳被钉子O2挡住,小球刚好能击中钉子,如
4、图4—18所示.8.两根长度均为l的刚性轻杆,一端通过质量为m的球形铰链连接,另一端分别接质量为m和2m的小球.将此装置的两杆并拢,铰链向上竖直地放在桌上,然后轻敲一下,使球往两边滑,但两杆始终保持在竖直面内(图4一第4页共13页19),忽略一切摩擦.求:(1)铰链碰到桌面前的速度;(2)当两杆夹角为900时,质量为2m的小球的速度;3(3)当两杆夹角为900时,质量为2m的小球的位移s2.9.水平面上有一质量为M的木块,其斜面上放一质量为m的小木块(可看做质点),从静止在高度为h处下滑到底,(图4—20所示)。设斜面的倾角为,各接触面的摩擦均可忽略不计,试求:(1)下滑过
5、程中,契形木块对水平面的压力;(2)当m刚下滑到水平面上时,M滑行的距离;(3)当m刚下滑到水平面上时,M对m的所做的功。第5页共13页参考解答1.解:设碰撞前A的速度为v0,碰撞后A、B的速度分别为v1和V1,则mv1212120=mv1+kmV1,mv0=mv1+kmV1,可解得:222-(k-1)2v1=v0,V1=v0,k+1k+1为使A能回到坡上,要v1<0,这导致k>1;为使A能再追上B,应有-v1>V1,导致k>3;于是要发生第二次碰撞必须要k>3。设第二次碰撞后A、B的速度分别为v2和V2,则m(-v121212121)+kmV1=mv2+kmV2,mv1+kmV
6、1=mv2+kmV2,可2222解得:4k-(k-1)24(k-1)v2=v0,V2=v0,(k+1)2(k+1)2若v2>0必不会发生第三次碰撞,若v2<0,但-v2≤V2,也不会发生第三次碰撞,则由-v2≤V2可解得5-2≤k≤5+2,所以要能且只能发生两次碰撞的条件是交集3<k≤5+2。2.解:如题图所示,沿着容器的竖直直径,我们将水池内的水均匀细分成n层,r每一元层水的高度△h,h很小,故每一层水均可看做是一个薄圆n22ir2柱,水面下第i层水柱底面的半径rr(),这层水的质量为in第6页共13页2ir2rmr()inn2ir2rir那么
7、将这层水抽出至少应做的功是Wgr()innn而将池内水完全抽出至少要做的功就是34iiWlimWigrlim24ni1ni1nn4113333grlim2(123n)4(123n)nnn2241nn(1)1nn(1)grlim24nn2n414gr43.解:在Δt时间内发动机吸收的水的体积为VSt(其相对汽艇的速度为),1121
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