2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题6.3等比数列及其前n项和（讲）含解析

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1、2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第六章数列第03讲等比数列及其前n项和（讲）1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；2.了解等比数列与指数函数的关系.3.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用；4.会用数列的等比关系解决实际问题.5.高考预测：（1）高频考向:利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量；（2）低频考向:等比数列的性质及应用.（3）浙江更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵

2、活性及深刻性．6.备考重点:（1）与等差数列及其它知识的综合问题；（2）根据已知递推式构造等比数列求解相关问题.知识点1．等比数列的有关概念1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：.说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比

3、数列，则.3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4.等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．(2)如果数列成等比数列，且，那么数列(，且)必成等差数列．(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比

4、数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．【典例1】（2017全国卷3理）设等比数列满足，，则___________．【答案】【解析】因为为等比数列，设公比为．，即，显然，，得，即，代入式可得，所以．【总结提升】求解等比数列的基本量要用好方程的思想：等比数列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想解决问题.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不

5、求，整体代入”来简化运算．【变式1】（2012·浙江高考真题（理））设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为{Sn}．若，，则q＝______________．【答案】【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)知识点2．等比数列的前n项和一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.【典例2】（2018年理新课标I

6、卷）记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.【总结提升】若已知首项和末项，则；若等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.【变式2】（2017·北京高考真题（文））已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（1）an=2n−1.（2）【解析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=1

7、0，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n−1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.从而.知识点3．等比数列的相关性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等比数列中，对任意，，；（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项.也就是：，如图所示：.（5）若数列是等比数列，且公比不为－1

8、，是其前项的和，，那么，，成等比数列.如下图所示：.（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．2.公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.3.等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．4.等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法(1)定义法；