［推荐精品］浅谈平均值

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1、浅谈平均值倪志强（浙江省洞头县笫一中学325700）如图1所示，函数y=f（x）在X】到X2区域内与横轴所围成的面积为S,则y在X］到X2区一Q域内的平均值为f（x）=—。物理量的平均值不仅与X］到心这一区域有关，还与选择怎X2_X］样的口变量X有关。1.平均速度平均速度的定义式是⑴。对于匀变速直线运动，由于速度对时间是线性变化，所以X十例1伽利略通过研究自由落体和物块沿光滑斜面的运动，首次发现了匀加速运动规律。伽利略假设物块沿斜面运动•物块口由下落遵从同样的法则，他在斜面上用刻度表示物块滑下的路程，并测出物块通过相应路程

2、的时间，然后用图线表示整个运动过程，如图2所示。图中OA表示测得的时间，矩形OAED的而积表示该时间内物块经过的路程，则图屮OD的长度表示oP为DE的屮点，连接OP且延长交AE的延长线于B,则AB的长度表示o（06年上海高考）分析由题意，路程s=S矩形oaed=°D•OA=OD-t,比较两式可知OD表示平均速度。AR由（戸是厶OAB的屮位线，WCP=OD=——,又匀加速直线运动的平均速度X」宁，所以AB表示物块的末速度。1.力的平均值常见的力的平均值有两种：(1)功W=Fx中的力亍，它以位移(空间)x为自变量；(2)冲量1

3、=矗中的力匸，它以时间t为自变量。例2一根截而积为S、长为H的粗细均匀木棒，在外力作用下，以速度v匀速竖宜向下浸入水屮，求从木棒开始接触水面到全部浸入过程屮，浮力做的功与浮力的冲量各是多少？(水的密度为P)分析浮力随木棒浸入水中的深度x的变化关系为F(x)=pVg=pgSx,可见F(x)与x成正比，所以仏)=%；凡冷恁SH,因此W=F(x)H=-/?gSH2o2浮力随木棒浸入水屮的时间的变化关系为F(t)=pVg=/pgSx=pgSvt,可见F(t)与t成正比，所以F(t)=Zo+^±=1SH,2v在此例屮，有F(t)=F

4、(x)。但若木棒以初速度v,加速度a匀加速浸入水中，则浮力对空间(X)仍是线性变化，其平均力仍为F(x)=

5、pgSHo席2但浮力随时间(t)的变化关系为F(t)=/9gSx=pgS(vt+—),F(t)随t非线性变化，这时亍(t)HF(x)=F()；凡。思考若质量为m的雨滴下落时所受阻力与速度成正比，雨滴的最人速度为J】，雨滴在从速度为零到v“J

6、勺过程中阻力的功率P是否也可以用P=Fvni来计算？显然不可以！因为功是力在位移上的积累，冲量是力在时间上的积累，而功率不是力在速度上的积累。2.电流的平均值感应电动势的平均值E

7、(t)=n—,At-Fn/①所以感应电流的平均值1=—=竺匕OR总R总&乂根据电流的定义i=2,则有q=輕。R总要注意，电流的平均值和有效值是两f不同的概念，求电流做功W=uit用冇效值，求电量q用平均值，求安培力的冲量I=貢=BiLt也用平均值。例3如图3所示，无限长的光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，轨道间距L=lm,底部接有阻值R=0.4G的定值电阻，前端开口。竖直向上的匀强磁场的磁感应强度B=2.0To一质量为m=0.5kg的金属棒ab与导轨接触良好，电路中其余部分电阻不计。现用一质量为M=2.0kg的物体通过一不

8、可伸长R平行于导轨的轻质细绳绕过光滑的定滑轮与ab相连。由静止释放M,不计空气阻力和电磁辐射，当M下落高度h=2.0m时，ab开始匀速运动(运动中ab始终垂直于导轨，并接触良好，取g=10m/s2)o在ab棒从开始运动到开始匀速运动的过程中，求：(1)流过电阻只的电量q；(2)电流的平均值i；(3)电流的有效值I；(4)平均速度0。Bhi图3_E分析(1)q=IAt=-AtA^At=A£=BLhRAtRR=10C注电量的多少只和磁通屋变化的多少冇关，和变化的快慢无关。(2)对于M、m系统，山动量定理得MgAt-FAt=(M

9、+m)vm。由JMg=ImBL,Em=BLvm,Em=ImR,b2l2因％F=BIL,所以FAt=BILAt=BLq,得“(M+叽+BLq“25s,Mg所以I骨8A。(1)对于M、m系统，山功能关系得(2)?=—=1.6m/soAt小结用恒足物理量代替变化的物理量时，要弄清该物理屋是在何自变屋上的积累，函数的形式怎样，积累的区域如何。自变量不同，函数不同，区域不同，那么同一个物理量的平均值就不一定相同。