05-4 DFT与FFT,栅栏效应与窗函数-数字信号处理

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1、6.5DFT与FFT第六章、数字信号处理技术1、离散傅立叶变换离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。x(t)截断、周期延拓xT(t)周期信号xT(t)的傅里叶变换：第六章、数字信号处理技术对周期信号xT(t)采样，得离散序列xT(n),将积分转为集合：展开，得连续傅立叶变换计算公式：用计算机编程很容易计算出指定频率点值：f=？//计算的频率点Fs=?N=1024dt=1.0/Fspi=3.1415926XR=0XI=0Forn=0ToN-1XR=XR+x(n)*cos(2*pi*f*n*dt)*dt

2、XI=XI+x(n)*sin(2*pi*f*n*dt)*dtNextA=sqr(XR*XR+XI*XI)Q=atn(XI/XR)VBScript样例6.5DFT与FFT6.5DFT与FFT连续傅立叶变换编程计算实验：采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点值，设频率取样间隔为：Δf=fs/N频率取样点为｛0,Δf,2Δf,3Δf,....｝，有：6.5DFT与FFT该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)6.5DFT与FFT2、快速傅立叶变换快速傅立叶变换(FFT)是离散傅立叶变换的一种有效的算法，通过选择和重新排列中间结果，减小运算量。展开各点的DFT计算公式：XR(1)

3、=x(0).cos(2pi*0*1/N)+x(1).cos(2pi*1*1/N)+x(2).cos(2pi*2*1/N)…..XR(2)=x(0).cos(2pi*0*2/N)+x(1).cos(2pi*1*2/N)+x(2).cos(2pi*2*2/N)…..6.5DFT与FFT有大量重复的cos、sin计算，FFT的作用就是用技巧减少cos、sin项重复计算。当采样点数为1024点,DFT要求一百万次以上计算量，而FFT则只要求一万次。6.6栅栏效应与窗函数第六章、数字信号处理技术1、栅栏效应为提高效率,通常采用FFT算法计算信号频谱，设数据点数为N，采样频率为Fs。则计算得到

4、的离散频率点为:Xs(Fi)，Fi=i*Fs/N,i=0，1，2，.....，N/2X(f)f0ΔfΔ如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。6.5DFT与FFT栅栏效应误差实验：6.6栅栏效应与窗函数2能量泄漏与栅栏效应的关系频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。6.6栅栏效应与窗函数实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。从这个意义上说，

5、能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。6.6栅栏效应与窗函数能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。6.6栅栏效应与窗函数3常用的窗函数1）矩形窗6.6栅栏效应与窗函数2）三角窗6.6栅栏效应与窗函数3）汉宁窗6.6栅栏效应与窗函数常用窗函数6.5DFT与FFT窗函数在减小栅栏效应误差中的作用实验：6.5DFT与FFT总结：信号截断能量泄漏FFT栅栏效应从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。6.5DFT与FFT通过加窗控制能量

6、泄漏，减小栅栏效应误差：加矩形窗加汉宁窗6.6栅栏效应与窗函数动手做：设计一个离散傅立叶计算程序，计算方波的频谱。观察栅栏效应带来的计算误差。6.6栅栏效应与窗函数思考题：1.A/D，D/A转换器的主要技术指标有那些？2.信号量化误差与A/D，D/A转换器位数的关系？3.采样定理的含义，当不满足采样定理时如何计算混迭频率？4.A/D采样为何要加抗混迭滤波器，其作用是什麽？5.数字信号处理中采样信号的频谱为何一定会产生能量泄漏？6.用FFT计算的频谱为何一定会存在栅栏效应误差？7.窗函数的作用是什麽？