概率教案1-41

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1、§1-4独立性一、事件的独立性二、伯努利（Bernoulli)试验二、实际推断原理一、事件的独立性由条件概率我们知道，一般情况下P(B/A)≠P(B)，但有时也会出现P(B/A)=P(B)的情况。例如：同时抛掷两枚均匀的硬币记A={第一枚掷出正面}，B={第二枚掷出正面}显然P(B)=1/2，P(B/A)=1/2,也就是说，事件A是否发生不影响事件B的发生，即P(B/A)=P(B)，这时我们称事件A与B是相互独立的。在事件A与B相互独立的情况下，乘法公式变得非常简单，即P(AB)=P(A)P(B)

2、我们就用上式来定义事件的独立性定义：设A、B为两事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)则称A与B是相互独立的。例：从一幅不含大小王的扑克牌中任抽一张，记A=“抽到K”，B=“抽到黑色的牌”，问事件A与B是否独立？解：P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2，P(AB)=2/52=1/26，所以P(AB)=P(A)P(B)即A与B是相互独立的。◆说明：n个事件相互独立与两两独立的区别下面以3个事件为例：三个事件A、B、C相互独立，必须满足如下条件：P(AB)=P(A)P(B)P

3、(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)三个事件A、B、C两两独立，只需满足P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)一般情况下，当A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立。例如：设有四张卡片分别标以数字1，2，3，4，今从中任取一张。设A表示事件“取到标有1或2的卡片”，B表示事件“取到标有1或3的卡片”，C表示事件“取到标有1或4的卡片”。试验证：1、事件独立性的重

4、要结论（1）若事件A与事件B是相互独立的，则也是相互独立的。（2）设A1,A2,A3,…,An相互独立，则有P(A1A2A3…An)（1）证明：（2）P(A1A2A3……An)2、利用独立性求事件的概率注：实际应用中，对于事件的独立性我们往往不是根据定义来判断，而是根据问题的实际意义来判断。例1:甲、乙、丙三人进行射击，甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.55,丙击中目标的概率为0.45。令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。（1）求三人都击中目标的概率。（2）求

5、目标被击中的概率。(1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.1485(2)P(A1+A2+A3)=例2：假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004,混合100个人的血清，求此混合血清中含有肝炎病毒的概率。解：设Ak=“第k人的血清中含有肝炎病毒”，k=1,2,…，100B=“混合血清中含有肝炎病毒”二、伯努利（Bernoulli）试验1.n次独立重复试验将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.满足下列条件的试验称为Bernoulli

6、试验:①每次试验都在相同的条件下重复进行;2.n重贝努利试验②每次试验只有两个可能的结果:A及③每次试验的结果相互独立若用“表示n重贝努利试验中事件A发生k次的概率”，则n次试验中事件A发生k次的概率为：证明：在n重贝努利试验中，事件A在前k次出现，而在后n-k次不出现的概率为:若满足上述条件的试验重复进行n次,则称这一串试验为n重贝努利(Bernoulii)试验。而事件A在n次试验中发生k次的方式为：例1：将一枚均匀的骰子掷4次，求3次掷出5点的概率.上式即为n重贝努利试验中事件A发生k次的概率

7、计算公式。解：令A=“掷出5点”，表示4次抛掷中3次出现5点的概率，则：解：例2:设有产品100件，其中3件是次品。从中有放回地任取5件，求：（1）取得次品数恰好为1件的概率；（2）取得次品数至多为2件的概率。三、实际推断原理实际推断原理：人们在长期实践中发现:概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的。例题：一张概率试卷共有10道选择填空题，每题有4个选择答案，其中只有一个是正确答案。某同学投机取巧，随意填空，试问他至少能填对6道题的概率是多大？解：设B=“他至少答对6道题”，A=“答对”，则

8、第一章小结样本点、样本空间、随机事件事件间的关系和运算概率的基本性质古典概型与几何概型条件概率、乘法定理全概公式与贝叶斯公式7.事件的独立性和伯努利试验解：A={甲中靶},B={乙中靶},C={丙中靶}；D={三发中恰两发子弹中靶},则练习1：甲、乙、丙三人向靶子各射击一次，结果有两发子弹中靶。已知甲、乙、丙中靶的概率分别为4/5，3/4，2/3，求丙脱靶的概率。补充例题：甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而被击落的概率