概率教案1-31

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1、一、条件概率许多情况下，我们会遇到在一事件发生的条件下求另一事件的概率问题，这就是条件概率问题.我们称P(B/A)为在事件A发生的条件下事件B的条件概率。例如：某班有40名同学,其中女同学20人,课代表同学5人,且已知20名女同学中有2名是课代表.记A={任取的一名为女同学};B={任取的一名为课代表同学}则在A发生的条件下事件B的条件概率：P(B/A)=2/20.注:P(B/A)的含义为在已知任取的一位是女同学的前提下,该生又是课代表的概率.另一方面，我们再求一下P(AB)/P(A)。这里我们得到一个等式：这个等式启发我们引入条件概率的定义：定义1：设A、B是两个事件，且P(A)>0，称

2、为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。二、概率乘法定理定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积。即：P(AB)=Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ/Ａ)P(AB)=Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ａ/Ｂ)将上式变形就得到概率论中非常有名的乘法公式：下面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。证明：假设试验重复了n次，事件A发生了m次，事件B发生了k次，事件AB发生了r次，则事件A发生的频率为：m/n事件AB发生的频率为：r/n在A发生的条件下事件B发生的频率为：r/m由于B由概率的统计定义,故B问：P(B/A)与P(B)的样本空间一样吗？注意：上述公式还可以推广到三个及以上

3、的情形用条件概率解答下列问题.解：令Ai={第i次取到黑球},Bj={第j次取到红球}i，j=1,2,3,4,…例1（波里亚罐子模型)：一个罐子中装有b个黑球和r个红球，从罐中随机地摸取一球，观看颜色后再放回罐中，并且再加进c个与所取出的球具有相同颜色的球。这种过程进行四次，试求第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球的概率。则A1A2B3B4表示事件“第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球”，于是说明：当c>0时，每次取出球后都会增加下一次再取到同色球的概率，这其实是一个传染病模型，即每次发现一个传染病患者后都会增加下一次再传染的机会。解：令Ai={第i次拨号才接通电话},i=1,2,3（

4、1）拨号不超过3次而接通电话的概率。（2）第3次拨号才接通电话的概率例2：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随机地拨号，假设拨过的数字不再重复，试求下列事件的概率。（1）拨号不超过3次而接通电话可表示为：于是：（2）第3次拨号才接通电话可表示为：讨论：用条件概率解答囚犯和看守关于处决谁是否要保密的问题.问题：监狱看守通知三个囚犯，在他们三人中要随机地选出一个处决，而把另外两个释放。囚犯甲请求看守秘密告诉他，另外两个囚犯中谁将获得自由。请问：就甲的求生而言，看守该如何做对甲有利？解：设A=“甲被处决”，B=“乙被处决”，C=“丙被处决”注意:A、B、C是两两互斥事件,若看守不告诉甲：P

5、(A)=1/3若看守告诉甲，比如乙将获释，则：同理：讨论：用条件概率计算抽签问题5个球迷得到一场精彩球赛的入场券，只好用抽签方式决定谁去。解：记Ai=“第i人抽到入场券”,i=1,2,3,4,5.=“第i人没抽到入场券,i=1,2,3,4,5.第二个人抽到意味着第一个人未抽到，于是同理：第三个人抽到意味着前两人均未抽到类似可得：P(A4)=P(A5)=1/5.三、全概率公式与贝叶斯公式1.样本空间Ω的一个划分设B1,B2,…Bn为样本空间Ω的一组事件，且满足：BiBj=,ij,i,j=1,2,…..n；B1B2…Bn=Ω这样的一组事件B1,B2,…Bn称为样本空间Ω的一个划分

6、。2、全概率公式与贝叶斯公式设B1,B2,…Bn为样本空间Ω的一个划分，则对Ω中任意事件A，有(1)式称为全概率公式，(2)式称为贝叶斯公式。全概率公式所以A=AΩ=A(B1B2…Bn)=AB1AB2…ABn从而P(A)=P(AΩ)=P(AB1AB2…ABn)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A

7、B1)+P(B2)P(A

8、B2)+…+P(Bn)P(A

9、Bn)证明：由于B1B2…Bn=Ω(2)贝叶斯公式证明：说明:全概公式的作用在于把一个事件A化为许多互斥事件ABi的和，且A至少与某个Bi一同出现。下面看一下全概公式与贝叶斯(bayes)公

10、式的应用。例1：设某厂所用的晶体管是由甲、乙、丙三个厂家提供的，根据以往的记录有以下的数据：设三个厂家的产品在仓库中是均匀混合的。(1)在仓库中任取一只晶体管，求它是次品的概率；(2)在仓库中任取一只晶体管，发现它是次品，问它是由甲厂生产的概率？(1)解：设A=“取到的一只晶体管是次品”Bi=“取到的是第i厂的产品”，i=1,2,3.则B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P