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1、数值分析上机卖验4例1已知方程组*9Xj-x2-x3=7“一£+10x2—些=8一工1_兀2+15兀3=13的准确解为X=[1,1,l]r,试用迭代法产生向量序列逐步逼近准确解。解：(1)雅可比(Jacobi)迭代A=[9-l-1;-110-1;-1-115];b=[7;8;13];x=[0;0;0];y=x;fork=l:4fori=l:3s=0;t=x(i);x(i)=0;forj=l:3s=s+A(ij)*x(j);endx(i)=t;y(i)=(b(i)-s)/A(i,i);ender=
2、norm(x・y,l);x=yend(2)塞德尔(Seidel)迭代A=[9-l-1;-110-l;-l-115];b=[7;8;13];x=[0;0;0];er=l;k=0;whileer>0.01er=0;k=k+l;fori=l:3s=0;t=x(i);x(i)=0;forj=l:3s=s+A(ij)*x(j);endx(i)=(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);end例2.常微分方程边值问题丁"+丿+兀=0兀€(0,1)j(o)=o,XD=o.将
3、[0,1]区间分为n个等长小区间，记h-!n,x,=jh（y=0,1,…，力+1）。将常微分方程离散化，得下面n个等式-+（2—h2）yj—yJ+l=Xjh2（丿=1，2,,n）其中,刃）=0,加尸0。上式给出了函数值乃（j=l,2,……,巧所满足的方程组。试绘制该方程增广矩阵的结构。对任意输入的刃，求解方程组，并与原微分方程的解析解j(x)=sinx/sinl-x,比较。解：这是一个三对角方程组AX=b,其系数矩阵为右端向量为bT=[xih2,,,xnh2]由算法产生矩阵A和右端向量b,绘制
4、增广矩阵的结构图，求数值解并与解析解比较。MATLAB程序如下n=input(*inputn:=r);h=l/n;hh=h*h;d=2-hh;xk=h;x(l)=xk;b(l)=x*hh;A(l,l)=d;A(l,2)=-l;A(n-l,n-l)=d;A(n-l,n-2)=-l;fork=2:n-2xk=xk+h;b(k)=xk*hh;x(k)=xk;A(k,k-1)=-1;A(k,k)=d;A(k,k+1)=-1;endxk=xk+h;b(n-l)=xk*hh;x(n-l)=xk;b=b*;s
5、py([A,b])yk=Ab;yO=sin(x)/sin(l)-x;plot(x,yO,x,yk；o*)例3平面温度场的计算问题。设有一矩形均匀薄板，它的两而是绝热的，如果四条边界线上温度为已知，它们分别为10°C、15°C、20°C.18°C（左、上、右、下）.经过一段时间后,板内的各点温度达到平衡状态而不再变化，求板内平衡温度的分布。解设矩形域上温度函数为"（x,y）.记矩形域为G二{（x,p）
6、OWxW3,OWxW2}首先，取A=0.5,令兀o=O,yo=O.用两簇互相垂直的直线，令Xj
7、=xo+ih,7=0,1,…，6O3x1,…，6；j=0,1,…，4)yj=yo+jh,j=0,1,…，4两组相互垂直的直线将矩形区域剖分成正方形网格。直线簇的交点（石，乃）称为网格点或结点。在右图中，边界上的20个网格点（边界结点）上的温度值是已知的.而域内的15个网格点（内部结点）上的温度值未知.记Uy=u（X/9yj）（7=0,得如下15个等式uij=*(坷-ij+乞+1,丿1+%_/+】)(z=1,…，5；j=l,…，3)这实际上是关于惭数u(x,刃在内部结点处的15个函数值的线性方程组
8、，而边界条件为wo.j=10(/■=1,2,3)；w6.j=20(y=1,2,3)；Ui，o=18(z=1,2,3,4,5)；Ui，4=15(z=1,2,3,4,5)用赛徳尔迭代法求解这一问题。程序如下u(l,l:5)=10*ones(l,5);u(7,l:5)=20*ones(l,5);u(2:6,l)=18*ones(5,l);u(2:6,5)=15*ones⑸1)；u(7,5)=20;k=0;er=l;whileer>0.001er=O;k=k+l;fori=2:6forj=2:4s=.2
9、5*(u(i-l%j)+u(i%j-l)+u(i+lj)+u(ij+l));er=max(er,abs(s-u(ij)));u(ij)=s;endendku，pcolor(uf)得各结点处的温度值如下:10.000018.000018.000018.000018.000018.000020.000010.000014.295716.060116.949317.613018.457220.000010.000013.122714.995616.124317.045418.215920.000010
