数学建模暑期培训----目标规划

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1、目标规划主讲：石俊宜春学院数学建模暑期培训班目标规划目标规划(Goalprogramming)是在线性规划基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支。目前研究较多的有线性目标规划、非线性目标规划、线性整数目标规划和0-1目标规划等。本章主要讨论线性目标规划，简称目标规划。一、目标规划问题的提出与目标规划模型【引例1】某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场上有甲、乙两个等级，单价分别为2千元/kg和1千元/kg，要求采购的总费用不得超过20万元，购得原料的总重量不少于100kg，而甲级原料又不得少于50kg，问如何

2、确定最好的采购方案（即用最少的钱、采购最多数量的原料）。目标函数为：1、问题的提出这是一个含有两个目标的数学规划问题．设x1、x2分别为采购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg），y1为花掉的资金，y2为所购原料总量．则：约束条件为：注：此规划模型是一个多目标规划模型【引例2】某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四各不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备为2、1、4、0小时，生产每件产品Ⅱ需占用各设备为2、2、0、4小时，各设备用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又知生产一件产品Ⅰ获得2000元，

3、生产一件产品Ⅱ获得3000元，问如何安排生产，使总的利润最大。则该问题的数学模型表示为maxZ=2x1+3x22x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1≥0,x2≥0但企业通常的经营目标会更实际、更多样！这是一个线性规划模型企业的新目标：力求使利润指标不低于12000元；考虑到市场需求，Ⅰ,Ⅱ两种产品的生产量需尽量保持1:1的比例；C和D为贵重设备，严格禁止超时使用；设备B必要时可以加班，但加班时间要控制，设备A既要求充分利用，又尽可能不加班。等等这些目标通过线性规划无法实现!2、分析对于这样的多目标问题，线性规划

4、很难为其找到最优方案．极有可能出现：第一个方案使第一目标的结果优于第二方案，而对于第二目标，第二方案优于第一方案．就是说很难找到一个方案使所有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛盾方程时，线性规划方法是无法解决的。实践中，人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方法——目标规划。3、目标规划与线性规划相比，有以下优点：线性规则只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解。实际问题中，往往要考虑多个目标的决策问题，这些目标可能互相矛盾，也可能没有统

5、一的度量单位，很难比较。目标规划就能够兼顾地处理多种目标的关系，求得更切合实际的解。而在实际问题中往往存在一些相互矛盾的约束条件，如何在这些相互矛盾的约束条件下，找到一个满意解就是目标规划所要讨论的问题。线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的线性规划问题是一律要满足的“硬约束”。而在实际问题中，多个目标和多个约束条件不一定是同等重要的，而是有轻重缓急和主次之分的，如何根据实际情况确定模型和求解，使其更合实际是目标规划的任务。线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最优为求得这个最优解，往往要花去大量的人力、物力和财力。而在实际问题中，却并

6、不一定需要去找这种最优解。目标规划所求的满意解是指尽可能地达到或接近一个或几个已给定的指标值，这种满意解更能够满足实际的需要。目标规划更能够确切描述和解决经济管理中的许多实际问题。目前目标规划的理论和方法已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到广泛的应用。二、目标规划的基本概念1、目标值和正、负偏差变量目标规划通过引入目标值和正、负偏差变量，可将目标函数转化为目标约束。所谓目标值是预先给定的某个目标的一个期望值。实现值（或决策值）是当决策变量x1、x2、…、xn选定以后目标函数的对应值。显然，实现值和目标值之间会有一定

7、的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)，用d＋和d－表示。当实际值超出目标值时，有d－＝0，d＋＞0；当实际值未达到目标值时，有d＋＝0，d－＞0；当实际值同目标值恰好一致时，d＋＝d－＝0。因为在一次决策中，实现值不可能既超过目标值，同时又未达到目标值，所以有d＋与d－两者中必有一个为零。故恒有d＋×d－＝0d＋——超出目标的差值，称正偏差变量；d－——未达到目标的差值，称负偏差变量；绝对约束又称系统约束，是指必须严格满足的等式和不等式约束，如线性规划问题的所有约束都是绝对约束，不满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬

8、约束。以例2为例，如设备C和D严格禁止超时，故有：对那些不严格限定的约束，连同原线性规划建模时的目标函数转化为的约束，均可通过目标约束来表达。下面是如何形成目标约束