求平面图形的面积

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1、1、求平面图形的面积一、问题的提出会求梯形的面积，曲边梯形的面积怎样求？若会，则可求出各平面图形的面积。考虑如下曲边梯形面积的求法，其中f(x)是连续函数。abxyo我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。第一节定积分的概念问题的提出定积分的定义第九章定积分abxyoabxyo思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形

2、面积近似曲边梯形面积：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与

3、曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形面积的计算：xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ曲边梯形面积的近似值为小矩形面积和2、求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度以其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的近似，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割：部分路程值某时刻的速度路程的精确值（2）求和：（3）取极限：许多问题都会遇到这类形式的和式极限。二、

4、定积分的定义定义1这些分点或这些闭子区间称为对[a,b]的一个分割，记为称为分割T的模——反映分割的细密程度。

5、

6、T

7、

8、与分割T不是一一对应。定义2设f是定义在[a,b]的一个函数，对于[a,b]的任意一个分割:称此和式为函数f在[a,b]上的一个积分和或黎曼和。注：积分和与分割T和点的取法有关。定义3f是定义在[a,b]的一个函数，J是一个确定的数，被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限注：且极限过程复杂，（4）从定义看，不定积分与定积分风马牛不相及。第3节将证明：故前面两个例子可写为：曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值abxyooy

9、abx三、定积分的几何意义几何意义xyo例1计算解例2利用定义计算定积分解例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0yxf(x)=x2-12解：0yxf(x)=1ab解：0yx-12f(x)=(x-1)2-1例2：解：xyf(x)=sinx1-1例3x1y面积值为圆的面积的四、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似：以直（不变）代曲（变）取极限作业P20

10、4.2（1）