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1、上一节我们讨论了最简单的方差分析——单因素方差分析的原理与方法。在实际工作中，问题常常比较复杂，要求我们同时考虑两种甚至更多因素，以及这些因素共同作用的影响。多因素方差分析进行多因素方差分析从理论上说并无任何困难，但随着因素数的增加，普通方差分析的复杂性迅速增加，这种复杂性不仅表现在分析计算的繁复，更表现在所需实验次数呈现出几何级数的增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到；当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特殊的方差分析方法，例如正交实验设计方法。多因素方差分析繁复单因素方差分析相比，交互
2、作用是多因素方差分析中新的概念之一。当一个因素的效应明显地依赖于其他因素的水平时，我们称这些因素间有交互效应。例如，由于人的体质不同，药物的疗效也可能会有不同；不同的地施用同样的肥料，增产效果也有不同，等等。模型类型及交互作用概念A1A2A3B1B2B3A1A2A3B2B3B1(a)无交互效应(b)有交互效应图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。交互效应多因素方差
3、分析可分为固定模型，随机模型及混合模型三类。这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。按因素类型进行分类多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这两类计算公式也有些差别，下面我们以两因素方差分析为例，介绍它们试验设计方面的不同点。交叉分组：实验中，A因素的每个水平都会和B因素的每个水平相遇，因此A，B的地位是完全对称的。这是最常见的实验设计方法。按实验设计分类先按A因素的a个水平分为a组，在每一组内再按B的水平细分。一般A因素不同水平的组内B因素的水
4、平可取不同值。例如研究PH值对酶活性的影响，不同的酶可能有不同的最适PH值，因此应对每种酶设置PH值偏高、合适、偏低三个水平，而不同的酶(因素A的不同水平)PH值(因素B)的水平可能是不相同的。系统分组：1.固定效应模型。首先考虑有重复的情况。线性统计模型为：xijk=+i+j+()ij+ijk,i=1,2,……a,j=1,2,……b;k=1,2,……n其中：：总平均值；i：A因素i水平主效应；j：B因素j水平主效应；()ij：A因素i水平与B因素j水平的交互效应；ijk：随机误差
5、。两因素交叉分组方差分析H01:i=0,i=1,2,……aH02:βj=0,j=1,2,……bH03:()ij=0,i=1,2,……a,j=1,2,……b备择假设为:HA:上述各参数中至少有一个不为0。(这实际上是三个备择假设。)零假设方差分析的基本思想仍是总变差分解：即：SST=SSA+SSB+SSAB+SSe自由度：abn-1a-1b-1(a-1)(b-1)ab(n-1)总变差分解均方数学期望检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，分母全部采用MSe即可。检验H01，H02，H03的统计
6、量分别为：检验H01，H02，H03的统计量从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三个分子才是2的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行检验。各效应的估计值其中i=1,2……a,j=1,2,……b。计算公式计算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均计算步骤变差来源平方和自由度均方统计量F主效应A主效应B交互效应AB误差总和方差分析表把计算所得结果填入上表后，再根据各
7、F统计量的自由度查出其F0.95及F0.99分位数，并将F计算值与相应分位数相比，大于F0.95则在统计量F右上角标一个“*”号；大于F0.99则再加一个“*”号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结，即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著F测验如果MSAB小于或约等于MSe，即FAB小于或约等于1，说明此时交互作用不存在，在这种情况下也可把MSAB和MSe合并在一起(即把平方和和自由度都合并)作为σ2的估计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下交互作用不存在然后可用作统计量F
8、A和FB的分母，对两个主效应进行统计检验。注意查表时分母自由度要相应改变。原料种类(A)温度（B）30℃35℃40℃1414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930选择最适发酵条件本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几
