初中数学教材中的化归思想剖析

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1、初中数学教材中的化归思想剖析“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，而儿乎所冇问题的解决都离不开化归，只是所体现的形式有所不同。计算题是利用规泄的运算法则进行化归，证明题是利用公理、定理或已经证明了的命题进行化归，应用题利川数学模型化归，……因此可以说，离开了化归，数学问题将无法解决，化归是解决数学问题的最基木的手段之一。而通过一定的转化过程，把待解决的问题转化为已经解决或比较容易解决的问题或这类问题的某种组合，这种思想被称Z为“化归思想”。在整个初屮数学教材屮无处不渗透

2、着化归思想，我们时常需要把高次的化为低次的，把多元的化为单元的，把高维的化为低维的，把指数运算化为乘法运算，把儿何问题化为代数问题，化无理为有理等，可以说在初中的数学教材中，每一册都有较多问题的解决需耍用化归的思想方法来完成，而在历年的中考题中许多压轴题的解决也需要用化归的思想方法來完成，所以这种数学思想是初中数学中解决问题的一种非常重要的数学思想。化归思想的实质就是将一个新问题进行变形，使其转化为另一个己经解决的问题，从而使原來的问题得到解决。其-•般模式是把所耍解决的问题A经过某种变化，使Z归结

3、为另一个问题A®再通过问题A*的求解，把解得的结果还原于原有问题A,从而使原有问题得解，如下图所示：化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的方向和化归的方式方法。要正确运用化归思想，就要分淸化归的对彖，明确要化归的方向，考虎实施化归的方法。木文主要从化归的方向对初屮教材小的化归思想进行举例分析。从化归的方向上來看，化归的方向大致可以分为下而两种：一、新知识向已知知识点或知识块的转化在初中数学教材中，有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为己知知识或己解决的问题來完成的，也就是将新知识向已知知识

4、点或知识块转化，从而使问题得到解决。下面就以解方程为例來分析这种化归的方向。1、消元降次化归，实现新知识向已知知识点的转化(1)降次化归解一元方程解一元二次方程时有以下四种基本解法：a、如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负的常数，则根据平方根的意义将形如(x+m)2=n(n>0)的方程转化为两个一次方程：x+m=±4n,进而得解xL2=-m土,此为开平方。b、如果将方程通过配方恒等变形，-•边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负的常数，则其后的求解可山思路一完成，此为配方法。c、如果

5、方程一边为零，一边能分解成两个一次因式Z积，就可以得到两个因式分别为零的一次方程,它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。d、如果以上三条思路受卩IL,便可把方程整理为-•般形式，直接利用公式求解。纵观以上四种方法，不难发现，方法一即所谓开平方法，它是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，即由(x+m)2=n(n>0)转化为x+m=土麻,完成了由"二次”向"一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“

6、一次”转化创造了条件，因而习惯上称Z为"配方法”，配方法的实质就是通过转化为开平方來解决的。方法三即因式分解法，其理论依据是“若干个因式Z积为零时，则其中至少冇一个因式为零”，据此，也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法，对-•般的一元二次方程，通过配方，转化为开平方求得一般结论，即求根公式。公式法以强调结论，应用结果为前提，而省略了公式的探究过程，实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。从以上分析不难看到：将“一元二次”这个新知识点转

7、化为“一元一次”这个已知知识点之际，也就是顺利求解-元二次方程Z时。因此，应用化归思想降次转化为一元一次方程，是解一元二次方程各方法Z“亠”zKo而对于高次方程，初中教材中的都是简单•的一元高次方程，这类方程根据具体方程的特殊性可以通过一些常规的数学方法把它们转化为一元一次方程或一元二次方程，即完成从新知识点到已知知识点的降次化归过程，从而使此类方程问题得到解决。（2）消元降次化归解方程组解二元一次方程组，其慕木方法是通过加减消元或是代入消元转化为一元一次方程，即完成从新知识点到已知知识点的转化，从

8、而得到求解。三元一次方程组，也通过消元，转化为二元一次方程组，再进-步转化为一元一次方程，从而使问题得解。而对于二元二次方程组，如果:要解的二元二次方程组是山一个二元一次方程和一个二元二次方程构成的，那么直接先消元转化为一个一元二方程就可以求解了。如果要解的二元二次方程组是由两个二元二次方程组成的，则既要消元，乂要降次，需转化为两个分別含冇一个二元-•次方程的二元二次方程组或四个二元一次方程组，即完成由新知识向已知知识的转化，从而使二元二次方程组得到求解。2、分式方程